Bifurcación y Caos son dos términos que han dominado la investigación en dinámica no-lineal en las últimas décadas. Su importancia ha traspasado las fronteras de la matemática al marcar presencia desde la física teórica hasta las neurociencias pasando por prácticamente todas las áreas de vanguardia de la ingeniería. La asociación entre bifurcaciones y la Teoría del Caos no es gratuita: Muchas veces la ocurrencia de ciertas bifurcaciones puede gatillar la aparición de caos en un sistema. Por lo tanto, el reconocer e identificar las bifurcaciones de un sistema puede ser crucial para entender los mecanismos matemáticos subyacentes que explican una transición entre una dinámica "simple" y un comportamiento caótico.
Este curso está dirigido a estudiantes de postgrado y a estudiantes avanzados de pregrado. En general, este curso puede ser tomado por estudiantes matemáticos y no-matemáticos con una formación (al menos) introductoria en la teoría de sistemas dinámicos: Retratos de fase, equivalencias y conjugaciones, estabilidad local, aplicación de retorno de Poincaré, variedades invariantes, caos, nociones de dinámica simbólica, herraduras de Smale, etc.
Otros requisitos: Dominio de cálculo diferencial en varias variables, álgebra lineal, análisis. Deseable poseer nociones de topología y variedades diferenciables.
Cátedras: Pablo Aguirre (pablo.aguirre [at] usm.cl)
Horarios de Clases: Miércoles bloque 3-4, 9.35-10.45hrs. Sala F-249.
Viernes bloque 5-6, 10.55-12.05hrs. Sala F-249.
Horarios de Consulta: Lunes, Miércoles & Jueves 15-16hrs.
Ayudante: Pablo Muñoz (pablo.munozssu.14 [at] sansano.usm.cl)
Evaluación de la asignatura
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Contenidos:
1) Preliminares: Ejemplos de bifurcaciones y diagramas de bifurcación. Codimensión, deformaciones versales. Estabilidad estructural. Notas de clases: 01, 02
2) Formas normales: Formas normales para campos vectoriales, términos resonantes, teorema de la forma normal. Formas normales de sistemas que dependen de parámetros. Formas normales topológicas. Notas de clases: 03.
3) Bifurcaciones locales de codimensión uno: Formas normales topológicas de bifurcaciones locales; condiciones de genericidad y transversalidad. Notas de clases: 04, 05, 06.
4) Bifurcaciones en sistemas n-dimensionales: Teoría de la variedad central. Variedades centrales en bifurcaciones de sistemas n-dimensionales. Bifurcaciones de ciclos límite. Notas de clases: 07, 08.
5) Bifurcaciones locales de codimensión dos: Bifurcación cúspide, bifurcación de Hopf degenerada (Bautin), bifurcación Bogdanov-Takens. Notas de clases: 09, 10.
6) Bifurcaciones globales en campos vectoriales: Órbitas homoclínicas y heteroclínicas; Teorema de Andronov-Leontovich para órbitas homoclínicas planares. Bifurcaciones homoclínicas en R^3, teoremas de Shilnikov, caos homoclínico de Shilnikov. Notas de clases: 11, 12, 13, 14.
EXPOSICIONES DE ESTUDIANTES
* Gonzalo Ayancán: Bifurcaciones en las señales intercraneales en el lóbulo temporal en pacientes con epilepsia.
* Mario Hernández: Bifurcaciones en toros invariantes.
* Adrián López: Bifurcaciones en EDPs.
* Cristián Marín: Bifurcaciones en sistemas con simetrías.
* Claudio Peña: Teorema de la variedad central homoclínica.
* Ramón Vidal: Bifurcaciones en dinámica con múltiples escalas de tiempo.
Bibliografía
Texto Guía
- Y. Kuznetsov, Elements of Applied Bifurcation Theory, 3ª edición, Springer, 2004.
Textos Complementarios
- V. I. Arnol'd, V. S. Afrajmovich, Yu. S. Il'yashenko & L. P. Shil'nikov, Dynamical Systems V: Bifurcation Theory and Catastrophe Theory, Encyclopaedia of Mathematical Sciences Vol. 5, Springer-Verlag, 1994.
- D. K. Arrowsmith & C. M. Place, An Introduction to Dynamical Systems, Cambridge University Press, 1990.
- J. Guckenheimer & P. Holmes, Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields, Springer, 1986.
- J. Hale & H. Kocak, Dynamics and Bifurcations, Springer, 1991.
- Yu. Ilyashenko & W. Li, Nonlocal Bifurcations, Mathematical Surveys and Monographs Vol. 66, American Mathematical Society, 1999.
- J. Palis & F. Takens, Hyperbolicity & Sensitive Chaotic Dynamics at Homoclinic Bifurcations, Cambridge University Press, 1995.
- L. P. Shilnikov, A. L. Shilnikov, D. V. Turaev & L. O. Chua, Methods of Qualitative Theory in Nonlinear Dynamics (Part II), World Scientific Series on Nonlinear Science Series A Vol. 5, World Scientific Publishing, 2001.
Last updated 27 Noviembre 2023.