Este curso está dirigido a estudiantes avanzados de pregrado o estudiantes iniciando un postgrado como una introducción a los sistemas dinámicos no-lineales aplicados y caos. También es recomendable para estudiantes avanzados en física, química e ingeniería que usen sistemas dinámicos como herramientas/modelos en sus estudios.
El curso tendrá una faceta teórica/expositiva complementada con sesiones computacionales con el software MATCONT. Ver también: Instalación de MatCont.
Se pondrá énfasis en enseñar las técnicas y métodos que permitirán al estudiante el tomar un sistema dinámico específico (en la forma de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias, flujos de campos vectoriales y/o composición de mapeos) y obtener información cuantitativa sobre el comportamiento de este sistema desde el punto de vista geométrico y analítico.
Requisitos: Este curso puede ser tomado por estudiantes matemáticos y no-matemáticos con conocimientos sólidos de cálculo diferencial e integral, ecuaciones diferenciales ordinarias y álgebra lineal. Deseable pero no-imprescindible: Nociones de análisis real, topología, geometría diferencial.
Cátedras: Pablo Aguirre (pablo.aguirre [at] usm.cl)
Horarios de Clases: Martes, bloques 1-2, sala F265.
Viernes, bloques 9-10, sala F265.
Horarios de Consulta: Lunes & Jueves 2-3.30pm.
Ayudante: Viviana Rivera (vivianarivera . mate at gmail . com)
Fechas importantes:
Certamen 1: Viernes 6 Mayo.
Certamen 2: Viernes 24 Junio
Examen: Lunes 11 Julio
Tarea 1 Fecha de entrega: Jueves 24 de marzo en clases
Tarea 1b Esta tarea no se entrega
Tarea 2 Fecha de entrega: Viernes 8 de abril en clases
Tarea 2b Esta tarea no se entrega
Tarea 2c Esta tarea no se entrega
Tarea 3 Fecha de entrega: Viernes 29 de abril en clases
Tarea 4 Fecha de entrega: Martes 24 de mayo en clases
Contenidos:
1) Preliminares: Espacio de fase, órbitas, dinámica discreta vs continua. Puntos de equilibrio, puntos fijos, órbitas periódicas, retrato de fase. Ecuaciones de Lorenz, mapeo logístico, dinámica simbólica. ¿Qué (no) es caos?
2) Retratos de fase y equivalencia topológica: Conjuntos invariantes, estabilidad. Equivalencia y conjugación.
3) Estabilidad de puntos de equilibrio y puntos fijos: Isoclinas. Hiperbolicidad. Teorema de Hartman-Grobman. Orientación de mapeos.
4) Aplicación de retorno de Poincaré: Secciones transversales, estabilidad de ciclos, ecuación variacional, multiplicadores de Floquet.
5) Oscilaciones no-lineales y aplicaciones: Sistemas gradientes, funciones de Lyapunov, criterio de Dulac, teorema de Poincaré-Bendixson, sistemas de Liénard. Oscilaciones de relajación, sistemas lento-rápido. Osciladores acoplados y cuasiperiodicidad. Oscilaciones forzadas periódicamente.
6) Variedades invariantes: Teorema de la variedad estable. Atractores y cuencas de atracción.
7) Bifurcaciones: Estabilidad estructural. Formas normales. Bifurcaciones locales de equilibrios, puntos fijos y ciclos.
8) Dinámica caótica: Dependencia sensitiva a las condiciones iniciales, transitividad. Ecuaciones de Lorenz, mapeo logístico, sistema de Rössler, dinámica simbólica, herradura de Smale.
9) Otras propiedades de conjuntos caóticos: Exponentes de Lyapunov, atractores extraños, fractales, dimensiones fractales, reconstrucción de atractores a partir de series de tiempo.
Bibliografía
Texto Guía
- S. Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos, Westview Press, 2001.
Textos Complementarios
- D. K. Arrowsmith & C. M. Place, An Introduction to Dynamical Systems, Cambridge, 2011.
- H. Broer & F. Takens, Dynamical Systems and Chaos, Springer-Verlag, 2011.
- R. L. Devaney, An Introduction to Chaotic Dynamical Systems, 2nd edition, Westview Press, 2003.
- J. Guckenheimer & P. Holmes, Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields, Springer, 1986.
- Y. Kuznetsov, Elements of Applied Bifurcation Theory, Springer, 2004.
- J. D. Meiss, Differential Dynamical Systems, SIAM, 2007.
Otros Textos de Divulgación, Historia, Recreación & Curiosidades
- R. Abraham & Y. Ueda (Eds.), The Chaos Avant-garde: Memories of the early days of chaos theory, World Scientific, 2000.
- M. Field & M. Golubitsky, Symmetry in Chaos: A search for pattern in mathematics, art and nature, SIAM, 2009.
- R. Kautz, Chaos: The Science of Predictable Random Motion, Oxford, 2010.
- E. Lorenz, The Essence of Chaos, Washington, 1995.
- J. C. Sprott, Elegant Chaos: Algebraically simple chaotic flows, World Scientific, 2010.
- W. Szemplinska-Stupnicka, Chaos, Bifurcations and Fractals Around Us, World Scientific, 2003.
Evaluación
2 certámenes (C1, C2)
Tareas (T)
Examen (E)
Promedio de certámenes:
PC = (C1+ C2)/2
Nota semestral:
NS = PC*0.8 + T*0.2
Requisitos de aprobación:
Si NS >= 55, APROBADO
Nota final = NS
Si 40<=NS<55 y teniendo al menos una nota de certámenes >= 55, se puede rendir EXAMEN
NE = NS*0.7 + E*0.3
Si NE>=55, Nota final = 55.
Si NE<55, Nota final = NE.
Si NS<40, REPROBADO
Nota final = NS