Cátedras: Pablo Aguirre (pablo.aguirre [at] usm.cl)
Horarios de Clases: Lunes bloque 3-4, sala C206;
Miércoles bloque 7-8, sala P118;
Miércoles bloque 9-10, sala C206.
Horarios de Consulta: Martes 3.30-5pm; Viernes 10am-12.30pm. Oficina F-239.
Ayudante: Francisco Alfaro.
Fechas Importantes:
Certamen 1: Miércoles 15 de Abril.
Certamen 2: Miércoles 27 de Mayo.
Certamen 3: Miércoles 23 de Septiembre.
Examen Global: Miércoles 7 de Octubre a las 2pm (Sala F265).
Tarea 1 Fecha de Entrega: Miércoles 18 de Marzo.
Tarea 2 Fecha de Entrega: Miércoles 25 de Marzo.
Tarea 3 Fecha de Entrega: Miércoles 1 de Abril.
Tarea 4 Fecha de Entrega: Miércoles 15 de Abril.
Tarea 5 Fecha de Entrega: Lunes 27 de Abril.
Tarea 6 Fecha de Entrega: Miércoles 6 de Mayo.
Tarea 7 Fecha de Entrega: Miércoles 13 de Mayo.
Tarea 8 Fecha de Entrega: Miércoles 27 de Mayo.
Tarea 8b Esta tarea no se entrega.
Tarea 9H Esta tarea no se entrega.
Tarea 10F Esta tarea no se entrega.
Contenidos:
1) Nociones Básicas de Espacios Métricos: Distancias, ejemplos de espacios métricos, desigualdades de Cauchy-Schwarz, Hölder y Minkowsky, funciones continuas, homeomorfismos, isometrías.
2) Conceptos de Topología en Espacios Métricos: Conjuntos abiertos y cerrados, puntos límite, clausura, convergencia, espacios de Hausdorff, conjuntos densos, espacios separables, el conjunto de Cantor, conexidad.
3) Espacios Métricos Completos: Sucesiones de Cauchy, completitud, teorema de Baire.
4) Contracciones: Contracciones, el teorema del punto fijo, funciones de Lipschitz.
5) Compacidad en Espacios Métricos: Compacidad, conjuntos totalmente acotados, teorema de Bolzano-Weierstrass, conjuntos precompactos, continuidad uniforme.
6) Espacios de Funciones: Convergencia puntual y convergencia uniforme de sucesiones de funciones. Convergencia uniforme e integración, convergencia uniforme y diferenciación. Funciones uniformemente acotadas, equicontinuidad, teorema de Arzelà-Ascoli.
7) Espacios Normados: Normas, ejemplos de espacios normados, desigualdades de Hölder y Minkowsky, Espacios de Banach, criterio de completitud en espacios normados, espacio de funciones acotadas. Teoremas de aproximación de Weierstrass. Álgebras de funciones. Teorema de Stone-Weierstrass.
8) Espacios Euclideanos: Productos internos, ortogonalidad, bases ortonormales, coeficientes de Fourier, desigualdad de Bessel, identidad de Parseval, teorema de Riesz-Fisher, espacios de Hilbert, teorema de isomorfismos de espacios de Hilbert, complemento ortogonal, suma directa, ley del paralelógramo.
9) Funcionales Lineales: Definición, kernel de un funcional, codimensión del kernel de un funcional lineal, funcionales lineales continuos/acotados, norma de un funcional, teorema de Hahn-Banach, espacio dual, convergencia fuerte, base dual, teorema de representación de Riesz.
10) Cálculo diferencial en espacios de Banach: Derivada de Frechet, regla de la cadena, derivada débil, teorema del valor medio, conexión entre ambas definiciones de derivadas.
Bibliografía
- A. N. Kolmogorov & S. V. Fomin, Introductory Real Analysis, Dover, 1975.
- N. L. Carothers, Real Analysis, Cambridge University Press, 2000.
- W. Cheney, Analysis for Applied Mathematics, Springer, 2001.
Textos Complementarios
- E. Lima, Espaços Métricos, Projeto Euclides CNPq, IMPA, 1977.
- Ch. Hönig, Aplicações da Topologia à Análise, Instituto de Fisica e matematica, 1961.
- H. Royden, Real Analysis, 3rd Edition, Macmillan Publishing Co., 1988.
- S. Lang, Real Analysis, 2nd Edition, Addison-Wesley, 1983.
- T. Apostol, Mathematical Analysis, 2nd edition, Addison-Wesley, 1974.
- W. A. Sutherland, Introduction to Metric and Topological Spaces, Oxford University Press, 2009.
- W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill, 1976.
Evaluación
3 certámenes (C1, C2, C3)
Tareas semanales (T)
Examen (E)
Promedio de certámenes:
PC = (C1+ C2+C3)/3
Nota semestral:
NS = PC*0.8 + T*0.2
Requisitos de aprobación:
Si NS >= 55, APROBADO
Nota final = NS
Si 40<=NS<55, EXAMEN
Nota final máxima posible = 55
Si NS<40, REPROBADO
Nota final = NS
Last updated 5 Octubre 2015.