La teoría de los sistemas dinámicos busca explicar los mecanismos matemáticos subyacentes de estructuras o cantidades que evolucionan en el tiempo mediante una regla determinística. Un sistema dinámico puede venir en la forma de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias, flujos de campos vectoriales, ecuaciones diferenciales parciales del tipo reacción-difusión, iteraciones de funciones y algoritmos iterativos, composición de mapeos, etc.
Una de las características más llamativas de los sistemas dinámicos no lineales es que pueden llegar a presentar un comportamiento muy complicado y aparentemente aleatorio, aún cuando se trate de sistemas esencialmente determinísticos (!!!). Este fenómeno, conocido hoy como caos, ha intrigado en las últimas décadas a matemáticos, físicos e ingenieros por igual. Más aún, la dinámica caótica parece ser universal y casi omnipresente (i.e., lo opuesto a una "excepción a la regla"): Ha ayudado a dar explicación a muchos comportamientos complejos observados en osciladores mecánicos, circuitos eléctricos, lásers, sistemas ópticos no lineales, reacciones químicas, células nerviosas, interacción entre poblaciones, fluidos turbulentos, y muchos otros sistemas.
Este curso está dirigido a estudiantes avanzados de pregrado o estudiantes iniciando un postgrado como una introducción a los sistemas dinámicos no-lineales aplicados y caos. También es muy útil para estudiantes avanzados en física, química e ingeniería que usen sistemas dinámicos como herramientas/modelos en sus estudios.
Se pondrá énfasis en enseñar las técnicas y métodos que permitirán al estudiante el tomar un sistema dinámico específico y obtener información cuantitativa sobre el comportamiento de este sistema desde el punto de vista geométrico y analítico. El curso tendrá una faceta expositiva con una combinación de teoría, ejemplos y aplicaciones. Si la contingencia lo permite, tendremos cinco sesiones computacionales con el software especializado MATCONT. Ver también: Instalación de MatCont.
Requisitos: Este curso puede ser tomado por estudiantes matemáticos y no-matemáticos con conocimientos sólidos de cálculo diferencial e integral, ecuaciones diferenciales elementales y álgebra lineal. Deseable pero no-imprescindible: Nociones de análisis real, topología, geometría diferencial.
Cátedras: José Pablo Mujica (jose.mujica [at] usm.cl)
Horarios de Clases: Miércoles, bloques 5-6. Zoom ID: 945-9045-7143
Viernes, bloques 7-8. Zoom ID: 999-3484-4233
Sesiones Computacionales: Edgardo Villar (edgardo.villar.13 [at] sansano.usm.cl)
Horarios: Jueves, bloques 7-8. (4 sesiones al semestre)
Con contribuciones de: Pablo Aguirre.
Horarios de Consulta: Simplemente envíennos un email y podemos coordinar una reunión.
Cronograma disponible aquí (Actualizado)
Tarea 1 Fecha de entrega: 8 mayo
Tarea 2 Fecha de entrega: 29 mayo
Tarea 3 Fecha de entrega: 3 julio
Tarea 4 Fecha de entrega: 24 julio
Fechas importantes: (ver Sistema de Evaluación más abajo)
Certamen: Jueves 6 Agosto. (Actualizado)
Examen Global: Por definir.
Estas fechas podrían sufrir leves ajustes si la contingencia lo requiere.
Sesiones computacionales
30 abril - Sesión 1: Integración de soluciones de EDOs. Continuación de equilibrios y bifurcaciones a un parámetro.
7 mayo - Sesión 2: Bifurcaciones de equilibrios a dos parámetros.
11 junio - Sesión 3: Continuación de órbitas periódicas y bifurcaciones a un parámetro.
18 junio - Sesión 4: Bifurcaciones de órbitas periódicas a dos parámetros.
Contenidos:
1) Introducción: Espacio de fase, órbitas, dinámica caótica, dinámica discreta vs continua. Puntos de equilibrio, puntos fijos, órbitas periódicas, retrato de fase. Conjuntos invariantes, estabilidad. Equivalencia y conjugación.
2) Análisis local: Estabilidad, hiperbolicidad. Teorema de Hartman-Grobman. Variedades invariantes. Bifurcaciones.
3) Órbitas periódicas y oscilaciones no lineales: Aplicación de Poincaré, ecuación variacional, multiplicadores de Floquet. Variedades invariantes de ciclos. Bifurcaciones de órbitas periódicas. Oscilaciones de relajación, sistemas lento-rápido. Oscilaciones forzadas periódicamente.
4) Dinámica en toros y círculos: Osciladores acoplados y cuasiperiodicidad. Número de rotación. Ecuaciones diferenciales no autónomas en el toro.
5) Dinámica caótica: El sistema de Rössler. El mapeo logístico. Caos de Devaney, dependencia sensitiva a las condiciones iniciales, transitividad. Dinámica simbólica. La Herradura de Smale. El atractor caótico de Lorenz.
6) Otros fenómenos caóticos: Rutas al caos. Lenguas de Arnold. Estructura homoclínica de Poincaré. Métodos para cuantificar el caos: Reconstrucción de atractores a partir de series de tiempo, exponentes de Lyapunov, comportamiento ergódico, dimensiones fractales, espectro de potencia de Fourier.
Bibliografía
Texto Guía
- P. Aguirre, Sistemas Dinámicos No Lineales y Caos, apuntes del curso, 2020.
Textos Complementarios
- D. Arrowsmith & C. Place, An Introduction to Dynamical Systems, Cambridge, 2011.
- R. Devaney, An Introduction to Chaotic Dynamical Systems, 2nd edition, Westview Press, 2003.
- J. Guckenheimer & P. Holmes, Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields, Springer, 1986.
- M. Hirsch, S. Smale & R. Devaney, Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos, 3rd edition, Academic Press, 2013.
- Y. Kuznetsov, Elements of Applied Bifurcation Theory, Springer, 2004.
- J. Meiss, Differential Dynamical Systems, SIAM, 2017.
- S. Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering, Westview Press, 2nd edition, 2015.
Otros Textos de Divulgación, Historia e Ilustraciones
- R. Abraham & C. Shaw, Dynamics: The Geometry of Behavior, Addison-Wesley, 1992.
- R. Abraham & Y. Ueda (Eds.), The Chaos Avant-garde: Memories of the early days of chaos theory, World Scientific, 2000.
- M. Field & M. Golubitsky, Symmetry in Chaos: A search for pattern in mathematics, art and nature, SIAM, 2009.
- R. Kautz, Chaos: The Science of Predictable Random Motion, Oxford, 2010.
- E. Lorenz, The Essence of Chaos, Washington, 1995.
- J. Sprott, Elegant Chaos: Algebraically simple chaotic flows, World Scientific, 2010.
- W. Szemplinska-Stupnicka, Chaos, Bifurcations and Fractals Around Us, World Scientific, 2003.
Evaluación
Se realizará un único certamen al final del semestre. Este único Certamen será o bien presencial u online, dependiendo del estado de las clases en la USM y en el país para ese momento (fines de Julio). La materia a evaluar en este Certamen será una selección de los contenidos más importantes de todo el curso, la cual se informará oportunamente.
Así, la evaluación consistirá en:
1 Certamen (C) al final del semestre.
Tareas (T)
Examen Global (G)
Nota semestral:
NS = C*0.7 + T*0.3
Requisitos de aprobación:
Si NS >= 55, APROBADO
Nota final = NS
Si NS<55, se puede rendir Global (G)
Si G>=55, Nota final = 55.
Si G<55, Nota final = NS.