4ª Escuela del Doctorado en Matemática de Valparaíso

13-23 Octubre 2015
Valparaíso, Chile



Mini-curso
:

El atractor caótico de Lorenz:
Desarrollo y perspectivas en sistemas dinámicos





Los sistemas dinámicos son sistemas que evolucionan con el tiempo, y se encuentran
por todas partes: desde el sistema solar, el clima y los ecosistemas, hasta en las máquinas
creadas por el hombre y en la bioquímica de nuestros propios cuerpos [1]. Dependiendo
de las circunstancias, el comportamiento de un sistema puede ser bastante simple o más
bien complicado. El modelo de Lorenz —con su icónico atractor caótico con forma de alas
de mariposa— es un ejemplo paradigmático de un sistema dinámico con comportamiento
complicado [2, 3]. Su aparicion hace más de 50 años [4] fue una de las piedras angulares para
el desarrollo de la teoría moderna de sistemas dinámicos y dio pie al surgimiento de lo que
hoy se entiende por Teoría del Caos.




Este cursillo se enfocará en presentar algunas ideas básicas en sistemas dinámicos ilustrándolas
mediante las ecuaciones de Lorenz. El curso se dividirá en tres partes:


1) Conceptos preliminares de sistemas dinámicos y propiedades generales de las ecuaciones de
Lorenz [1, 2, 3]. Esta parte estará a cargo de Pablo Aguirre.


2) La demostración de la existencia de un atractor extraño en el modelo de Lorenz [2,5,6].
Esta parte estará a cargo de Pierre Guiraud.

3) Perspectivas de investigación y desarrollo recientes [7,8,9]. Esta sesión estará a cargo de
Carlos Vásquez.

Para el final del curso, los participantes serán capaces de identificar las principales características
de las ecuaciones de Lorenz, reconocer herramientas analíticas de la teoría de sistemas dinámicos,
determinar cómo puede aparecer la dinámica caótica en un sistema y cómo caracterizarla
.

Slides Clase 1

Slides Clase 2




Bibliografía:


[1] S. H. StrogatzNonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry and Engineering.
    Adison-Wesley, 1994.

[2] J. Guckenheimer and P. Holmes, Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Fields.
    Springer-Verlag, 1986.

[3] C. Sparrow, The Lorenz Equations: Bifurcations, Chaos, and Strange Attractors. Springer-Verlag, 1982.

[4] E. N. Lorenz, Deterministic nonperiodic flow. J. Atmos. Sci., 20:130–141, 1963.

[5] W. Tucker, The Lorenz attractor exists. (PhD thesis) Univ. Uppsala, 1998.

[6] W. Tucker, The Lorenz attractor exists. Comptes Rendus de l’Académie des Sciences-Series I-Mathematics,
    328(12):1197–1202, 1999.

[7] M. Viana. What’s new on Lorenz strange attractors?, Math. Intelligencer, 22(3):6–19, 2000.



Otras Referencias:

P. Aguirre, E. Doedel, B. Krauskopf and H. M. Osinga,
    Investigating the consequences of global bifurcations for two-dimensional manifolds of vector fields,
    Discrete and Continuous Dynamical Systems - Series A, 29, pp. 1309-1344, 2011.

Yu. A. Kuznetsov,
    Elements of Applied Bifurcation Theory,
    Third ed., Springer-Verlag, New York/Berlin, 2004.


J. D. Meiss,
    Differential Dynamical Systems,
    SIAM, 2007.



Links de interés:

Doctorado en Matemática de Valparaíso

Algunos temas de investigación para potenciales tesis de doctorado.

Seminario Dinámica Porteña

The Dynamical Systems Web: Portal de sistemas dinámicos con noticias, eventos, oportunidades, críticas de libros, animaciones, tutoriales, etc.

AUTO: Software for continuation and bifurcation problems in ordinary differential equations

MATCONT: Matlab package for the interactive numerical study of dynamical systems

Otros softwares

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