Oportunidades de Tesis / Memoria / Prácticas

Se buscan: estudiantes de pre y postgrado responsables, motivados
y con ganas de aprender y aplicar nuevas herramientas en contextos
teóricos y/o aplicados. Estos tópicos de investigación se enmarcan en la línea
de sistemas dinámicos aplicados.


Para conocer un poco más sobre la línea de Sistemas Dinámicos en el DMAT
(¿qué son los sistemas dinámicos? ¿qué asignaturas ofrecemos? ¿quiénes somos?)
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Además, puedes leer una breve descripción general de mis intereses personales aquí:
http://paguirre.mat.utfsm.cl/research.html



Para iniciar un postgrado, una tesis, o participar como ayudante de investigación
(homologable como práctica para ICMAT) en esta área se requieren conocimientos
en al menos 1 de los siguientes temas:
- Teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales.
- Teoría de sistemas dinámicos.
- Bifurcaciones.

...y dominio general en al menos 3 de los siguientes tópicos:
- Topología.
- Geometría diferencial.
- Modelación matemática de fenómenos físicos, biológicos y/o en ingeniería.
- Métodos numéricos y su implementación computacional.
- Habilidades de programación.


Actuales estudiantes
  1. Alissen Peterson - Ingeniería Civil Matemática UTFSM, co-supervisada junto a Jhoana Romero (University of Manitoba, Canadá).
    Trabajo de Memoria: Modelación matemática y dinámica de convivencia bacteriana y propagación de su resistencia a los antibióticos.
    Financiada parcialmente por Proyecto UTFSM PI_LI_19_06.

  2. Nicolás González - Magíster en Ciencias Mención Matemática UTFSM + Ingeniería Civil Matemática UTFSM.
    Tesis:     Aspectos asintóticos y geométricos de campos de vectores en bifurcaciones locales.

  3. Ariadne Sandoval - Ingeniería Civil Matemática UTFSM, co-supervisada junto a Lorena Hoffmeister (Universidad del Desarrollo) y Gabriel Muñoz.
    Trabajo de Memoria: Análisis de comportamiento y modelo de propagación de muertes por agente externo.

Estudiantes graduados
  1. Viviana Rivera (29 Julio 2016) Magíster en Ciencias Mención Matemática UTFSM.
    Tesis: Dinámica de un modelo tritrófico con respuesta funcional no-diferenciable.
    Financiada por Beca de Postgrado DGIP-USM, Beca del Programa de Incentivo a la Iniciación Científica y parcialmente por Proyecto Fondecyt Iniciación 11150306.
    Premio a la Excelencia Académica Postgrado 2016.

  2. Nicole Martínez (4 Noviembre 2016) Magíster en Ciencias Mención Matemática UTFSM.
    Tesis:     Dinámica de un modelo de depredación del tipo Leslie-Gower con doble efecto Allee en las presas.
    Financiada por Beca de Postgrado DGIP-USM, Beca del Programa de Incentivo a la Iniciación Científica y parcialmente por Proyecto Fondecyt Iniciación 11150306.

  3. Harald Heitmann (26 Septiembre 2017) - Licenciatura en Matemática UTFSM.
    Trabajo de investigación: Ondas viajeras en sistemas dinámicos discretos.

  4. Dana Contreras (16 Noviembre 2018) - Ingeniería Civil Matemática UTFSM.
    Trabajo de Memoria: Variedades invariantes, bifurcaciones y cuencas de atracción en modelos poblacionales.
    Financiada parcialmente por Proyecto Fondecyt Iniciación 11150306.
    Premio Mejor Poster XLI Semana de la Matemática 2015.

  5. Edgardo Villar (5 Noviembre 2019) - Magíster en Ciencias Mención Matemática UTFSM + Ingeniería Civil Matemática UTFSM, co-supervisado junto a Víctor Breña (Instituto Tecnológico Autónomo de México).
    Tesis:     Difusión espacial en un modelo depredador-presa con efecto Allee fuerte en la presa y respuesta funcional razón-dependiente.
    Financiado por Beca de Postgrado DGIIP-USM, Beca del Programa de Incentivo a la Iniciación Científica y parcialmente por Proyecto Fondecyt Iniciación 11150306.
    Distinción Federico Santa María al mejor graduado de Ingeniería Civil Matemática 2019.

  6. Ricardo Reyes (11 Septiembre 2020) - Doctorado en Ciencias Matemáticas en la Universidad Católica del Norte (co-supervisado junto a Bernardo San Martín).
    Tesis:     Atractores de Lorenz para campos polinomiales de bajo grado.
    Financiado por Beca Conicyt de Doctorado.

  7. Daniel Ramírez (11 Septiembre 2020) - Ingeniería Civil Matemática UTFSM, co-supervisado junto a Carla Castillo (Universidad del Desarrollo) y Pedro Gajardo (UTFSM).
    Trabajo de Memoria:     Análisis y modelamiento en el uso de test rápido para la detección de sífilis en población privada de libertad.
    Financiado parcialmente por Proyecto Fondecyt Iniciación 11150306.

  8. Víctor Donoso (25 Enero 2021) - Licenciatura en Matemática UTFSM.
    Trabajo de investigación: Análisis de la dinámica del estallido social en Chile, visto como un sistema lento-rápido.
    Financiado parcialmente por Proyecto UTFSM PI_LI_19_06.

  9. Fernando Lehue (8 Julio 2021) - Ingeniería Civil Matemática UTFSM, co-supervisado junto a Patricio Orio (Universidad de Valparaíso).
    Trabajo de Memoria:     Emergencia de interacciones de orden superior en modelos de osciladores neuronales.
    Financiado parcialmente por Proyecto UTFSM PI_LI_19_06.

  10. Pablo Muñoz (5 Enero 2023) - Ingeniería Civil Matemática UTFSM, co-supervisado junto a Patricio Orio (Universidad de Valparaíso).
    Trabajo de Memoria:     Análisis de bifurcaciones para modelos dinámicos en redes neuronales excitatorias-inhibitorias bajo la presencia de sinapsis electroquímica.

  11. Sofía Guarello (27 Enero 2023) - Ingeniería Civil Matemática UTFSM, co-supervisada junto a Isabel Flores.
    Trabajo de Memoria: Dinámica y propagación de enfermedades infecciosas transmisibles con inmigración de infectados.
    Financiada parcialmente por Proyecto UTFSM PI_LI_19_06.

Estudiantes en práctica
  1. Dana Contreras (2017) - Ingeniería Civil Matemática UTFSM.
  2. Edgardo Villar (2017) - Ingeniería Civil Matemática UTFSM.
  3. José Fuentealba (2018) - Ingeniería Civil Matemática UTFSM.
  4. Sofía Guarello (2019) - Ingeniería Civil Matemática UTFSM.
  5. Alissen Peterson (2021) - Ingeniería Civil Matemática UTFSM.


Temas de investigación

A continuación hay una lista de áreas (a priori no-excluyentes entre sí) en las cuales
pueden proponerse distintos potenciales proyectos de investigación.

Con adecuados matices y enfoques, estos proyectos pueden ser desarrollados por practicantes
y/o memoristas de Ingeniería Matemática y tesistas de Magíster o Doctorado en Matemática,
dependiendo de la profundidad y el alcance requerido.


Becas y estímulos. Los estudiantes de Magíster y Doctorado pueden optar a becas internas y externas, las cuales cubren costos de arancel y entregan montos de manutención para el bolsillo del estudiante. Paralelamente, algunos de los temas de investigación propuestos más abajo están asociados a proyectos que cuentan con estímulos económicos a estudiantes de pre y postgrado.


Las descripciones en la lista siguiente son bastante generales. Si estás interesado/a en alguna
de estas áreas (o temas afines), no dudes en contactarme para conversar informalmente del tema
de investigación y de posibles fuentes de financiamiento para manutención, viajes, etc.


¿Cómo estimar la tasa de propagación de una enfermedad cuando no se puede calcular el R_0?      

El número básico de reproducción (R_0) es quizás el índice más importante para saber si una enfermedad está controlada
o si se está propagando en vías de convertirse una epidemia. Una de las técnicas más comunes para calcular el R_0
se basa en la llamada Matriz de la Próxima Generación. Este método ha resultado ser muy versátil y lo suficientemente
general como para aplicarlo en distintos modelos en una variedad de enfermedades. Sin embargo, la validez del método
es la misma que la de un teorema matemático formal: primero hay que verificar que se satisfagan todas las hipótesis y supuestos
sobre los cuales fue construido. En este proyecto buscamos proponer nuevas técnicas para definir un índice que juegue
un rol análogo al R_0 (i.e., umbral que determine propagación o contención de una enfermedad) en escenarios donde
no sea posible calcular el R_0 por métodos tradicionales.  (SPOILER: Ya contamos con una nueva técnica original.)
Estos nuevos métodos y sus umbrales ---a diferencia del R_0 y el método de la matriz de la próxima generación--- pueden
ser aplicados en modelos epidemiológicos donde exista un flujo de entrada de individuos infecciosos al sistema desde
el exterior. Por ejemplo, en modelos para propagación de COVID-19 en un país con fronteras abiertas (¿suena familiar?);
modelos de enfermedades en población carcelaria, entre otros.


La matemática del estallido social   

¿Es posible que manifestaciones y/o protestas tengan un efecto apaciguador de la tensión social de una comunidad
o por el contrario, produzcan un aumento en el malestar social?
¿Cómo afecta el uso de la fuerza policial a la intensidad de una protesta? ¿Bajo qué condiciones esta acción policial
inhibe una protesta violenta o, por el contrario, la estimula (por ej, produciendo una escalada de violencia)?
¿Qué parámetros son relevantes para explicar que el uso de la fuerza (policial o de manifestantes) favorezca un aumento
o disminución de la llamada "paz social"?
¿Es posible que exista un estado de "paz absoluta"? ¿Y si es así, cómo es posible alcanzarlo? ¿Se trata un equilibrio estable o inestable?
En este proyecto se busca plantear y analizar modelos matemáticos simples que reflejen las interacciones entre estas variables
y su evolución en el tiempo. Para cada modelo se busca contribuir con un mejor entendimiento del fenómeno social
para (a través de la matemática) poder predecir eventuales brotes de descontento en una comunidad, distinguir los posibles
estados de equilibrio en el largo plazo (¿paz? ¿fluctuaciones periódicas o aperiódicas de paz/descontento? etc), y las consecuencias
que las políticas de seguridad pública tienen en el aumento/disminución de la violencia y la tensión social.


Propiedades fractales de conjuntos caóticos en bifurcaciones globales

Muchos fenómenos de dinámica caótica pueden explicarse como consecuencia de bifurcaciones globales como homoclínicas
y heteroclínicas. El comportamiento caótico trae consigo la aparición de conjuntos extraños (atractores caóticos, sillas caóticas, etc.)
los cuales organizan la dinámica en una zona del espacio de fase. Estos conjuntos extraños se caracterizan topológicamente
por tener propiedades fractales asociadas a conjuntos de Cantor. El propósito de este proyecto es caracterizar estas propiedades
fractales de conjuntos extraños en combinación con un enfoque de bifurcaciones. Por ejemplo, ¿Cómo varía la dimensión fractal
de un conjunto caótico invariante a medida que el sistema pasa por una bifurcación global que produce caos? Para responder
con precisión a esta pregunta se requiere, en primer lugar, poseer una buena aproximación del conjunto caótico. Hoy, esto es posible
gracias a avanzadas técnicas para el cálculo de variedades invariantes globales.

Modelación y análisis de propagación de enfermedades y epidemias

El principal foco de esta línea de investigación es el análisis mediante métodos matemáticos de estrategias para
entender y controlar la propagación de enfermedades. Entre los ejemplos particulares de interés están enfermedades
infectocontagiosas como el coronavirus, el dengue (transmitido por un mosquito) y patologías de transmisión sexual como la sífilis.
Para cada modelo se busca contribuir con un mejor entendimiento del fenómeno para poder predecir evetuales
brotes y proponer estrategias de contención de la enfermedad.


Estudio de modelos de poblaciones incluyendo modelos bioeconómicos

Las interacciones entre dos o más especies, involucrando depredación, competencia o simbiosis, son bien
descritas mediante modelos de ecuaciones diferenciales (ordinarias o parciales) o en diferencias (dinámica
discreta). Debido a la analogía entre las posibles interacciones también es posible modelar sistemas de dos o
más entidades con características bioeconómicas (ej, explotación de un recurso natural por el hombre) obteniendo
modelos matemáticos con muchas propiedades propias de un modelo de poblaciones.
El objetivo de este proyecto es realizar un análisis cualitativo de diversos modelos poblacionales y/o bioeconómicos
y determinar condiciones para la sobrevivencia/extinción de las especies del modelo, aparición de
dinámica caótica, optimización del proceso de "cosecha" de individuos en modelos bioeconómicos,
existencia y estabilidad de ondas viajeras, etc. Dependiendo del tipo de modelo a estudiar, el análisis se basará
en el uso de recientes métodos numéricos disponibles para sistemas dinámicos, un exhaustivo uso de la teoría
cualitativa de ecuaciones diferenciales, herramientas para ecuaciones diferenciales parciales, etc. Un problema
especial en presencia de difusión es determinar el efecto de los términos de la forma normal de bifurcaciones de
interés en la dispersión espacial de las especies.


Sistemas excitables

Excitabilidad es un fenómeno que involucra una reacción grande (típicamente en la forma de un pulso) ante un
estímulo relativamente pequeño. Aunque la excitabilidad fue estudiada en un comienzo en sistemas biológicos,
también ha sido hallada en sistemas de láser y ciertas reacciones químicas, muchas veces en presencia de distintas
escalas temporales. Recientemente, se ha probado que en el comportamiento excitable subyace un mecanismo matemático
típico de las bifurcaciones homoclínicas. El objetivo del proyecto propuesto es estudiar estos mecanismos que dan lugar a
impulsos y ráfagas de pulsos, mediante un enfoque de sistemas dinámicos así como con técnicas computacionales.

Variedades invariantes en bifurcaciones globales

Las transiciones cualitativas en la dinámica surgidas en bifurcaciones globales están íntimamente ligadas
a ciertas superficies llamadas variedades invariantes. Estas superficies organizan el espacio de fase y,
como consecuencia, nos entregan información sobre cómo una bifurcación se manifiesta en un determinado
sistema dinámico. Este proyecto usará y desarrollará los más actuales métodos numéricos para estudiar
los cambios globales en la dinámica en distintas bifurcaciones homoclínicas y heteroclínicas que surgen,
por ejemplo, en modelos de oxidación y en sistemas reacción-difusión.


Organizando el caos mediante variedades invariantes

La topología y geometría de las variedades invariantes globales, en su rol de separatrices del espacio de fase,
nos entregan información sobre cómo surge y se desarrolla el comportamiento caótico en un sistema
dinámico. En este proyecto se busca determinar el rol de las variedades invariantes globales de campos
vectoriales en la configuración de la dinámica caótica que aparece, por ejemplo, en modelos neuronales
y en dinámica de láser.


Variedades invariantes globales de puntos de equilibrio no-hiperbólicos

Bifurcaciones locales típicamente involucran uno o varios puntos de equilibrio que súbitamente
cambian su estabilidad. Al momento de la bifurcación el punto de equilibrio pierde su hiperbolicidad
y aparece una llamada variedad central local, la cual organiza la dinámica en una vecindad del equilibrio.
De especial importancia resulta el hecho de que no siempre hay unicidad para una variedad central.
Mediante el desarrollo e implementación de métodos numéricos, este proyecto consiste en extender y
estudiar esta variedad central visualizándola como un objeto global en el espacio de fase.




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Universidad Técnica Federico Santa María / Departamento de Matemática / P Aguirre

Last updated: 27 Enero 2023