Oportunidades de Tesis / Memoria


Actuales estudiantes
  1. Ricardo Reyes - Doctorado en Ciencias Matemáticas en la Universidad Católica del Norte (co-supervisado junto a Bernardo San Martín). Tema de Tesis: Atractores tipo Lorenz emergiendo de ciclos singulares. Financiado por Beca Conicyt de Doctorado.
  2. Dana Contreras - Ingeniería Civil Matemática UTFSM. Trabajo de Investigación: Variedades invariantes en la propagación de Wolbachia en poblaciones de Aedes Aegypti y su aplicación en el control del dengue.
  3. Daniel Ramírez - Ingeniería Civil Matemática UTFSM, co-supervisado junto a Carla Castillo (Universidad del Desarrollo) y Pedro Gajardo (UTFSM). Trabajo de Investigación: Análisis de costo-efectividad de estrategias de detección de sífilis en cárceles chilenas.
  4. Edgardo Villar - Magíster en Ciencias Mención Matemática UTFSM + Ingeniería Civil Matemática UTFSM. Financiado por Beca de Postgrado DGIIP-USM.
  5. Rodrigo Donoso - Magíster en Ciencias Mención Matemática UTFSM, co-supervisado junto a Patricio Orio (Universidad de Valparaíso). Financiado por Beca Conicyt de Magíster.

Antiguos estudiantes
  1. Viviana Rivera (29 Julio 2016) Magíster en Ciencias Mención Matemática UTFSM. Trabajo de Tesis: Dinámica de un modelo tritrófico con respuesta funcional no-diferenciable. Financiada por Beca de Postgrado DGIP-USM y Beca del Programa de Incentivo a la Iniciación Científica.
  2. Nicole Martínez (4 Noviembre 2016) Magíster en Ciencias Mención Matemática UTFSM. Trabajo de Tesis: Dinámica de un modelo de depredación del tipo Leslie-Gower con doble efecto Allee en las presas. Financiada por Beca de Postgrado DGIP-USM y Beca del Programa de Incentivo a la Iniciación Científica.
  3. Harald Heitmann (26 Septiembre 2017) - Licenciatura en Matemática UTFSM.


Temas de investigación


A continuación hay una lista de áreas (a priori no-excluyentes entre sí) en las cuales
pueden proponerse distintos potenciales proyectos de investigación.

Con adecuados matices y enfoques, estos proyectos pueden ser desarrollados por memoristas
de Ingeniería Matemática y tesistas de Magíster o Doctorado en Matemática, dependiendo de
la profundidad y el alcance requerido.


Becas y estímulos. Los estudiantes de Magíster y Doctorado pueden optar a becas internas y externas, las cuales cubren costos de arancel y entregan montos de manutención para el bolsillo del estudiante. Paralelamente, algunos de los temas de investigación propuestos más abajo están asociados a proyectos que cuentan con estímulos económicos a estudiantes de pre y postgrado.


Las descripciones en la lista siguiente son bastante generales. Si estás interesado/a en alguna
de estas áreas (o temas afines), no dudes en contactarme para conversar informalmente del tema
de investigación
y de posibles fuentes de financiamiento para manutención, viajes, etc.



Modelación y análisis de propagación de enfermedades y epidemias

El principal foco de esta línea de investigación es el análisis mediante métodos matemáticos de estrategias para
entender y controlar la propagación de enfermedades. Entre los ejemplos particulares de interés están enfermedades
infectocontagiosas como el dengue (transmitido por un mosquito) y patologías de transmisión sexual como la sífilis.
Para cada modelo se busca contribuir con un mejor entendimiento del fenómeno para poder predecir evetuales
brotes y proponer estrategias de contención de la enfermedad. Esta investigación tiene un carácter intrínsicamente
interdisciplinario; parte de ella es apoyada por el Centro de Epidemiología y Políticas de Salud de la Universidad
del Desarrollo. Los aspectos concernientes a la propagación del dengue están apoyados por el proyecto de cooperación
internacional MOdeling the Spread and (opTImal) COntrol of Arboviroses by Wolbachia — MOSTICAW
con fondos del programa STIC-Amsud-Conicyt.



Rutas al caos en un modelo de neurosensores del frío en la piel

Este proyecto tiene como finalidad estudiar las posibles rutas al caos mediante análisis de bifurcación en distintos modelos
del comportamiento de células nerviosas termoreceptoras en la piel. De especial interés resulta
comprender las consecuencias de bifurcaciones homoclínicas y cascadas de duplicación de período en órbitas periódicas
con el fin de codificar el complejo comportamiento dinámico de estas células. El análisis está principalmente enfocado en
el uso de herramientas analíticas y computacionales para análisis de bifurcaciones y la teoría de sistemas dinámicos. Este proyecto
se desarrollará en conjunto con el profesor Patricio Orio del Centro Interdisciplinario de Neurociencia de Valparaíso y cuenta
con el apoyo financiero del Proyecto Fondecyt N° 11150306.



Análisis de propiedades fractales de árboles eléctricos


La generación, transmisión, distribución y uso final de la energía eléctrica se hace a través de sistemas eléctricos de potencia.
La confiabilidad de los sistemas depende, entre otras cosas, de los materiales que los componen y el estado del aislamiento eléctrico de él.
Una de las principales causas de fallas de aislamiento en equipamiento de alta tensión es el fenómeno de arborización eléctrica.
Los árboles eléctricos son canales de degradación que crecen debido al campo eléctrico y la consecuente actividad de descargas parciales.
Las descargas parciales son descargas eléctricas de baja energía, localizadas en micro-volúmenes, que erosionan las paredes del árbol eléctrico
y producen la extensión de sus ramas, las cuales adquieren características fractales. Este proyecto busca entender la dinámica de las descargas
parciales, considerando estos eventos como un sistema dinámico no lineal y explotar herramientas matemáticas como series no lineales
de tiempo y la teoría del caos. Este proyecto estará desarrollado junto al profesor Roger Schürch del Departamento de Ingeniería Eléctrica y
cuenta con el apoyo financiero del Proyecto Multidisplinario DGIP-USM 216.22.2.



Estudio de reactores químicos y bioquímicos

La propagación espacial y reacciones químicas de una o más sustancias en reactores tubulares pueden modelarse
mediante sistemas de ecuaciones diferenciales parciales. Bajo ciertas condiciones, es posible estudiar ciertos
casos especiales los cuales derivan en sistemas de EDOs. De manera similar, las interacciones y concentraciones
en el tiempo entre microorganismos y sustratos en reactores bioquímicos se pueden representar como sistemas dinámicos.
Por lo tanto, el uso de herramientas de la teoría de sistemas dinámicos aparece como la principal arma para entender
el comportamiento en el largo plazo de estos modelos. En particular, este proyecto buscará comprender cuáles son los
mecanismos matemáticos y las condiciones físicas (temperatura, presión, etc), biológicas (tasas de reproducción de
microorganismos, etc) y químicas (concentración de reactivos, tasas de reacción) para obtener distintos comportamientos
asintóticos tales como degradación de compuestos/reactivos, coexistencia de distintas especies de microorganismos,
formación de ciclos, procesos de mezcla asociados a caos, etc. Este proyecto cuenta con el apoyo financiero del Proyecto
Fondecyt N° 11150306.



Estudio de modelos de poblaciones incluyendo modelos bioeconómicos


Las interacciones entre dos o más especies, involucrando depredación, competencia o simbiosis, son bien
descritas mediante modelos de ecuaciones diferenciales (ordinarias o parciales) o en diferencias (dinámica
discreta). Debido a la analogía entre las posibles interacciones también es posible modelar sistemas de dos o
más entidades con características bioeconómicas (ej, explotación de un recurso natural por el hombre) obteniendo
modelos matemáticos con muchas propiedades propias de un modelo de poblaciones.
El objetivo de este proyecto es realizar un análisis cualitativo de diversos modelos poblacionales y/o bioeconómicos
y determinar condiciones para la sobrevivencia/extinción de las especies del modelo, aparición de
dinámica caótica, optimización del proceso de "cosecha" de individuos en modelos bioeconómicos,
existencia y estabilidad de ondas viajeras, etc. Dependiendo del tipo de modelo a estudiar, el análisis se basará
en el uso de recientes métodos numéricos disponibles para sistemas dinámicos, un exhaustivo uso de la teoría
cualitativa de ecuaciones diferenciales, herramientas para ecuaciones diferenciales parciales, etc. Un problema
especial en presencia de difusión es determinar el efecto de los términos de la forma normal de bifurcaciones de
interés en la dispersión espacial de las especies. Este proyecto cuenta con el apoyo financiero del Proyecto Fondecyt
N° 11150306.



Sistemas excitables

Excitabilidad es un fenómeno que involucra una reacción grande (típicamente en la forma de un pulso) ante un
estímulo relativamente pequeño. Aunque la excitabilidad fue estudiada en un comienzo en sistemas biológicos,
también ha sido hallada en sistemas de láser y ciertas reacciones químicas, muchas veces en presencia de distintas
escalas temporales. Recientemente, se ha probado que en el comportamiento excitable subyace un mecanismo matemático
típico de las bifurcaciones homoclínicas. El objetivo del proyecto propuesto es estudiar estos mecanismos que dan lugar a
impulsos y ráfagas de pulsos, mediante un enfoque de sistemas dinámicos así como con técnicas computacionales.
Este proyecto cuenta con el apoyo financiero del Proyecto Fondecyt N° 11150306.



Variedades invariantes en bifurcaciones globales


Las transiciones cualitativas en la dinámica surgidas en bifurcaciones globales están íntimamente ligadas
a ciertas superficies llamadas variedades invariantes. Estas superficies organizan el espacio de fase y,
como consecuencia, nos entregan información sobre cómo una bifurcación se manifiesta en un determinado
sistema dinámico. Este proyecto usará y desarrollará los más actuales métodos numéricos para estudiar
los cambios globales en la dinámica en distintas bifurcaciones homoclínicas y heteroclínicas que surgen,
por ejemplo, en modelos de oxidación y en sistemas reacción-difusión. Este proyecto cuenta con el apoyo
financiero del Proyecto Fondecyt N° 11150306.



Organizando el caos mediante variedades invariantes

La topología y geometría de las variedades invariantes globales, en su rol de separatrices del espacio de fase,
nos entregan información sobre cómo surge y se desarrolla el comportamiento caótico en un sistema
dinámico. En este proyecto se busca determinar el rol de las variedades invariantes globales de campos
vectoriales en la configuración de la dinámica caótica que aparece, por ejemplo, en modelos neuronales
y en dinámica de láser. Este proyecto cuenta con el apoyo financiero del Proyecto Fondecyt N° 11150306.



Propiedades fractales de conjuntos caóticos en bifurcaciones globales

Muchos fenómenos de dinámica caótica pueden explicarse como consecuencia de bifurcaciones globales como homoclínicas
y heteroclínicas. El comportamiento caótico trae consigo la aparición de conjuntos extraños (atractores caóticos, sillas caóticas, etc.)
los cuales organizan la dinámica en una zona del espacio de fase. Estos conjuntos extraños se caracterizan topológicamente
por tener propiedades fractales asociadas a conjuntos de Cantor. El propósito de este proyecto es caracterizar estas propiedades
fractales de conjuntos extraños en combinación con un enfoque de bifurcaciones. Por ejemplo, ¿Cómo varía la dimensión fractal
de un conjunto caótico invariante a medida que el sistema pasa por una bifurcación global que produce caos? Para responder
con precisión a esta pregunta se requiere, en primer lugar, poseer una buena aproximación del conjunto caótico. Hoy, esto es posible
gracias a avanzadas técnicas para el cálculo de variedades invariantes globales.



Variedades invariantes globales de puntos de equilibrio no-hiperbólicos

Bifurcaciones locales típicamente involucran uno o varios puntos de equilibrio que súbitamente
cambian su estabilidad. Al momento de la bifurcación el punto de equilibrio pierde su hiperbolicidad
y aparece una llamada variedad central local, la cual organiza la dinámica en una vecindad del equilibrio.
De especial importancia resulta el hecho de que no siempre hay unicidad para una variedad central.
Mediante el desarrollo e implementación de métodos numéricos, este proyecto consiste en extender y
estudiar esta variedad central visualizándola como un objeto global en el espacio de fase.





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Universidad Técnica Federico Santa MaríaDepartamento de Matemática / P Aguirre