La teoría de los sistemas dinámicos busca explicar los mecanismos matemáticos subyacentes de estructuras o cantidades que evolucionan en el tiempo mediante una regla determinística. Un sistema dinámico puede venir en la forma de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias, flujos de campos vectoriales, ecuaciones diferenciales parciales del tipo reacción-difusión, iteraciones de funciones y algoritmos iterativos, composición de mapeos, etc.
Una de las características más llamativas de los sistemas dinámicos no lineales es que pueden llegar a presentar un comportamiento muy complicado y aparentemente aleatorio, aún cuando se trate de sistemas esencialmente determinísticos (!!!). Este fenómeno, conocido hoy como caos, ha intrigado en las últimas décadas a matemáticos, físicos e ingenieros por igual. Más aún, la dinámica caótica posee propiedades que parecen ser universales (i.e., lo opuesto a una "excepción a la regla"): Ha ayudado a dar explicación a muchos comportamientos complejos observados en osciladores mecánicos, circuitos eléctricos, lásers, sistemas ópticos no lineales, reacciones químicas, células nerviosas, interacción entre poblaciones, fluidos turbulentos, y muchos otros sistemas.
Este curso está dirigido a estudiantes avanzados de pregrado o estudiantes iniciando un postgrado como una introducción a los sistemas dinámicos no-lineales aplicados y caos. También es muy útil para estudiantes avanzados en física, química e ingeniería que usen sistemas dinámicos como herramientas/modelos en sus estudios.
Se pondrá énfasis en enseñar las técnicas y métodos que permitirán al estudiante el tomar un sistema dinámico específico y obtener información cuantitativa sobre el comportamiento de este sistema desde el punto de vista geométrico y analítico. El curso tendrá una faceta expositiva con una combinación de teoría, ejemplos y aplicaciones.
Requisitos: Este curso puede ser tomado por estudiantes matemáticos y no-matemáticos con conocimientos sólidos de teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales, cálculo diferencial e integral, álgebra lineal, análisis real y nociones generales de topología.
Cátedras: Pablo Aguirre (pablo.aguirre [at] usm.cl)
Horarios de Clases: Lunes bloques 9-10 (14.30-15.40hrs), sala F-249.
Viernes bloques 7-8 (12.15 - 13.25hrs), sala F-249.
Horarios de Consulta: Martes & Miércoles, 11-12hrs.
Ayudante: Pablo Muñoz (pablo.munozssu.14 [at] sansano.usm.cl).
Monitora de Inclusión de Acompañamiento Académico: Nathaly Corrales
Evaluación de la asignatura
Descargar aquí
Cronograma disponible aquí
Contenidos:
1) Nociones generales introductorias: Espacio de fase, órbitas, puntos de equilibrio, puntos fijos, puntos períodicos. Dinámica discreta vs continua, dinámica caótica. Retrato de fase. Conjuntos invariantes, puntos no-errantes, estabilidad, atractores, dominio de atracción, región atrapadora. Teorema de Poincaré-Bendixson. Equivalencia y conjugación. (3 clases)
2) Dinámica hiperbólica local: Teorema de Hartman-Grobman para campos de vectores y difeomorfismos. Flujos lineales. Isomorfismos lineales. Variedades invariantes locales. Aplicación de retorno de Poincaré. Estabilidad de órbitas periódicas hiperbólicas. Bifurcación flip (duplicación de período). (8 clases)
3) Caos en el mapeo logístico: Modelo logístico. Ruta al caos por duplicación de período. Propiedades del conjunto invariante. Caos de Devaney. Dependencia sensitiva a las condiciones iniciales, transitividad. Exponentes de Lyapunov. (4 clases)
4) Elementos de dinámica simbólica: Espacio de secuencias infinitas de dos símbolos. El mapeo shift. Dinámica simbólica del conjunto invariante del mapeo logístico. (2 clases)
5) La herradura de Smale: Construcción geométrica. Conjunto invariante y dinámica simbólica. Puntos homoclínicos y estructura homoclínica de Poincaré. (2 clases)
6) Introducción a la teoría de bifurcaciones locales: Bifurcaciones campos vectoriales y difeomorfismos (silla-nodo, transcrítica, pitchfork, Hopf, flip, Neimarck-Sacker). Bifurcaciones de órbitas periódicas. (4 clases)
7) Dinámica en cilindros, toros y círculos: Oscilaciones periódicamente forzadas. Osciladores acoplados y cuasiperiodicidad. Aplicaciones del círculo. Número de rotación. Lenguas de Arnold. (3 clases)
8) El atractor extraño de Lorenz: Estructura geométrica del atractor, dimensión fractal, exponentes de Lyapunov, el mapeo de Lorenz, reconstrucción del atractor por incrustación. (1 clase)
EXPOSICIONES DE ESTUDIANTES
* Gonzalo Ayancán: El mapeo del gato de Arnold.
* Agustín Huerta: Teorema de Sarkovskii.
* Adrián López: Método del blow-up.
* Cristián Marín: Dimensiones fractales.
* Claudio Peña: Teorema de la variedad central.
* Javiera Pérez: Demostración del teorema de Hartman-Grobman.
* Ramón Vidal: Dinámica en distintas escalas de tiempo.
Bibliografía
Texto Guía
- P. Aguirre, Sistemas Dinámicos No Lineales y Caos, apuntes del curso, 2023. (Actualizado el 7 julio)
Textos Complementarios
- D. Arrowsmith & C. Place, An Introduction to Dynamical Systems, Cambridge, 2011.
- R. Devaney, An Introduction to Chaotic Dynamical Systems, 2nd edition, Westview Press, 2003.
- J. Guckenheimer & P. Holmes, Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields, Springer, 1986.
- M. Hirsch, S. Smale & R. Devaney, Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos, 3rd edition, Academic Press, 2013.
- Y. Kuznetsov, Elements of Applied Bifurcation Theory, Springer, 2004.
- S. Lynch, Dynamical Systems with Applications using Python, Springer, 2018.
- J. Meiss, Differential Dynamical Systems, SIAM, 2017.
- C. Robinson, Dynamical Systems. Stability, Symbolic Dynamics, and Chaos, CRC Press, 1998.
- S. Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering, Westview Press, 2nd edition, 2015.
Otros Textos de Divulgación, Historia e Ilustraciones
- R. Abraham & C. Shaw, Dynamics: The Geometry of Behavior, Addison-Wesley, 1992.
- R. Abraham & Y. Ueda (Eds.), The Chaos Avant-garde: Memories of the early days of chaos theory, World Scientific, 2000.
- D. Feldman, Chaos and Dynamical Systems, Princeton University Press, 2019.
- M. Field & M. Golubitsky, Symmetry in Chaos: A search for pattern in mathematics, art and nature, SIAM, 2009.
- R. Kautz, Chaos: The Science of Predictable Random Motion, Oxford, 2010.
- E. Lorenz, The Essence of Chaos, Washington, 1995.
- J. Sprott, Elegant Chaos: Algebraically simple chaotic flows, World Scientific, 2010.
- W. Szemplinska-Stupnicka, Chaos, Bifurcations and Fractals Around Us, World Scientific, 2003.
Last updated: 7 Julio 2023