La teoría de los sistemas dinámicos busca explicar los mecanismos matemáticos subyacentes de estructuras o cantidades que evolucionan en el tiempo mediante una regla determinística. Un sistema dinámico puede venir en la forma de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias, flujos de campos vectoriales, ecuaciones diferenciales parciales del tipo reacción-difusión, iteraciones de funciones y algoritmos iterativos, composición de mapeos, etc.
Una de las características más llamativas de los sistemas dinámicos no lineales es que pueden llegar a presentar un comportamiento muy complicado y aparentemente aleatorio, aún cuando se trate de sistemas esencialmente determinísticos (!!!). Este fenómeno, conocido hoy como caos, ha intrigado en las últimas décadas a matemáticos, físicos e ingenieros por igual. Más aún, la dinámica caótica posee propiedades que parecen ser universales (i.e., lo opuesto a una "excepción a la regla"): Ha ayudado a dar explicación a muchos comportamientos complejos observados en osciladores mecánicos, circuitos eléctricos, lásers, sistemas ópticos no lineales, reacciones químicas, células nerviosas, interacción entre poblaciones, fluidos turbulentos, y muchos otros sistemas.
Este curso está dirigido a estudiantes avanzados de pregrado o estudiantes iniciando un postgrado como una introducción a los sistemas dinámicos no-lineales aplicados y caos. También es muy útil para estudiantes avanzados en física, química e ingeniería que usen sistemas dinámicos como herramientas/modelos en sus estudios.
Se pondrá énfasis en enseñar las técnicas y métodos que permitirán al estudiante el tomar un sistema dinámico específico y obtener información cuantitativa sobre el comportamiento de este sistema desde el punto de vista geométrico y analítico. El curso tendrá una faceta expositiva con una combinación de teoría, ejemplos y aplicaciones.
Requisitos: Este curso puede ser tomado por estudiantes matemáticos y no-matemáticos con conocimientos sólidos de teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales, cálculo diferencial e integral, álgebra lineal, análisis real y nociones generales de topología.
Cátedras: Pablo Aguirre (pablo.aguirre [at] usm.cl)
Horarios de Clases: Lunes & Miércoles Bloques 1-2 (8.15 - 9.25hrs).
Horarios de Consulta: Simplemente envíenme un email y podemos coordinar una reunión.
ID de reunión zoom: 856 7529 1384
Contraseña disponible en AULA.
Ayudante: Nicolás González Muñoz
(nicolas . gonzalezmu [at] sansano . usm . cl)
Evaluación de la asignatura
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Contenidos:
1) Nociones generales introductorias: Espacio de fase, órbitas, dinámica discreta vs continua, dinámica caótica. Puntos de equilibrio, puntos fijos, órbitas periódicas, retrato de fase. Conjuntos invariantes, puntos no-errantes, estabilidad, atractores, dominio de atracción, región atrapadora. Teorema de Poincaré-Bendixson. Equivalencia y conjugación.
2) Sistemas dinámicos a tiempo continuo: Teorema de Hartman-Grobman para campos de vectores. Estabilidad de puntos de equilibrio hiperbólicos. Flujos lineales. Variedades invariantes.
3) Sistemas dinámicos a tiempo discreto: Teorema de Hartman-Grobman para difeomorfismos. Estabilidad de puntos fijos y puntos periódicos hiperbólicos. Variedades invariantes.
4) Órbitas periódicas: Aplicación de retorno de Poincaré. Estabilidad de órbitas periódicas hiperbólicas. Teoría de Floquet. Duplicación de período. Ruta al caos en el sistema de Rössler.
5) Ruta al caos en el mapeo logístico: Modelo logístico. Ruta al caos por duplicación de período. Propiedades del conjunto invariante. Caos de Devaney. Dependencia sensitiva a las condiciones iniciales, transitividad. Dinámica simbólica del conjunto invariante.
6) La herradura de Smale: Construcción geométrica. Conjunto invariante y dinámica simbólica. Puntos homoclínicos y estructura homoclínica de Poincaré.
7) Introducción a la teoría de bifurcaciones locales: Bifurcaciones de puntos de equilibrio y puntos fijos (silla-nodo, transcrítica, pitchfork, Hopf, flip, Neimarck-Sacker). Bifurcaciones de órbitas periódicas.
8) Dinámica en cilindros, toros y círculos: Oscilaciones periódicamente forzadas. Osciladores acoplados y cuasiperiodicidad. Aplicaciones del círculo. Número de rotación. Lenguas de Arnold.
EXPOSICIONES DE ESTUDIANTES
* Bastián Aceitón: Generación de números pseudo-aleatorios a partir de sistemas caóticos.
* Benjamín Acuña: Bifurcación Bogdanov-Takens.
* Cristóbal Álvarez: Sistemas Hamiltonianos.
* Nicolás González: Dimensiones fractales.
* Cristóbal Lobos: Ecuación de Duffing.
* Felipe Pérez: Modelación de enfermedades infecciosas como sistemas dinámicos.
* Javier Pizarro: Teorema de Hartman-Grobman y su demostración.
* Macarena Rojas: Aplicaciones de la bifurcación de Hopf.
* Danny Sánchez: Estabilidad estructural.
Bibliografía
Texto Guía
- P. Aguirre, Sistemas Dinámicos No Lineales y Caos, apuntes del curso, 2021. (Actualizado 2 junio)
Textos Complementarios
- D. Arrowsmith & C. Place, An Introduction to Dynamical Systems, Cambridge, 2011.
- R. Devaney, An Introduction to Chaotic Dynamical Systems, 2nd edition, Westview Press, 2003.
- J. Guckenheimer & P. Holmes, Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields, Springer, 1986.
- M. Hirsch, S. Smale & R. Devaney, Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos, 3rd edition, Academic Press, 2013.
- Y. Kuznetsov, Elements of Applied Bifurcation Theory, Springer, 2004.
- S. Lynch, Dynamical Systems with Applications using Python, Springer, 2018.
- J. Meiss, Differential Dynamical Systems, SIAM, 2017.
- C. Robinson, Dynamical Systems. Stability, Symbolic Dynamics, and Chaos, CRC Press, 1998.
- S. Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering, Westview Press, 2nd edition, 2015.
Otros Textos de Divulgación, Historia e Ilustraciones
- R. Abraham & C. Shaw, Dynamics: The Geometry of Behavior, Addison-Wesley, 1992.
- R. Abraham & Y. Ueda (Eds.), The Chaos Avant-garde: Memories of the early days of chaos theory, World Scientific, 2000.
- M. Field & M. Golubitsky, Symmetry in Chaos: A search for pattern in mathematics, art and nature, SIAM, 2009.
- R. Kautz, Chaos: The Science of Predictable Random Motion, Oxford, 2010.
- E. Lorenz, The Essence of Chaos, Washington, 1995.
- J. Sprott, Elegant Chaos: Algebraically simple chaotic flows, World Scientific, 2010.
- W. Szemplinska-Stupnicka, Chaos, Bifurcations and Fractals Around Us, World Scientific, 2003.