"This is a story about dynamics: about change, flow, and rhythm, mostly in things that are alive."
Arthur T. Winfree, "The Geometry of Biological Time", 1980.
Cátedras: Pablo Aguirre (pablo.aguirre [at] usm.cl)
Cátedras: Pablo Aguirre (pablo.aguirre [at] usm.cl)
Horarios de Clases:
MIÉRCOLES 12.15-13.25hrs - Sala F249.
JUEVES 10.55-12.05hrs - Sala P203.
(viernes 9.35-10.45hrs - Sala P203)
DESCRIPCIÓN DEL CURSO
La Biología Matemática es una de las áreas más excitantes y de mayor crecimiento de la Matemática Aplicada. Los sistemas biológicos son sistemas complejos y requieren el uso y comprensión de matemáticas sofisticadas, y de la interacción y comunicación entre biólogos, matemáticos y estadísticos. Ejemplos incluyen flujo sanguíneo en arterias, propagación de tumores, brotes y control de epidemias y enfermedades infecciosas, lecturas del ritmo cardíaco, conservación de especies en peligro, emergencia de patrones en el desarrollo y el crecimiento, etc. Por lo tanto, la investigación en Biología Matemática tiene la virtud de hallar rápidamente aplicaciones en el mundo real con un impacto positivo en la sociedad.
OBJETIVOS DEL CURSO
• Identificar modelos, herramientas, técnicas y conceptos matemáticos usualmente aplicados en modelación de fenómenos biológicos.
• Adquirir nuevas técnicas avanzadas de dinámica no lineal y aplicarlas en modelos descritos por EDOs y EDPs.
• Interpretar los resultados obtenidos y discutir las implicancias de las predicciones que se puedan hacer con ellos.
Para el final del curso, los estudiantes estarán familizarizados con:
(1) Las aplicaciones de modelos en la forma de EDOs en una variedad de sistemas biológicos;
(2) Ecuaciones de reacción-difusión y sus aplicaciones en biología;
(3) El uso de análisis de estabilidad lineal y no lineal para estudiar la dinámica de sistemas complejos;
(4) El enfoque de sistemas dinámicos para describir medios oscilatorios y excitables.
Requisitos: Este curso puede ser tomado por estudiantes matemáticos y no-matemáticos con conocimientos sólidos de teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales ordinarias (resumen/repaso disponible en Apéndices de los apuntes), cálculo diferencial e integral, y conocimientos de ecuaciones diferenciales parciales elementales.
Deseable pero no imprescindible: Nociones de sistemas dinámicos y teoría de bifurcaciones.
No es necesario haber estudiado biología para cursar exitosamente este ramo.
Evaluación de la asignatura
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Ejemplos de reportes como referencia:
aquí
Guías de ejercicios:
Guía 1
Guía 2
Certamen:
aquí
Fechas importantes:
Inicio de clases: Miércoles 13 marzo.
Reporte 1: 17-18 abril.
Reporte 2: 2-3 mayo.
Reporte 3: 29-30 mayo.
Certamen: 27 junio.
Reporte 4: 3-4 julio.
Término del semestre: 12 julio.
CRONOGRAMA detallado aquí
Contenidos:
1) Dinámica de poblaciones: Modelos para poblaciones aisladas. Sistemas depredador-presa.
2) Modelos bien planteados: Soluciones no-negativas y acotadas, teorema de comparación, método de la región atrapadora, compactificación de Poincaré.
3) Enfermedades infecciosas: Modelos SIR, número básico de reproducción y brotes de epidemias, matriz de la próxima generación.
4) Oscilaciones de relajación: Propagación de impulsos nerviosos en neuronas, ecuaciones de Hodgkin-Huxley, modelo de Fitzhugh-Nagumo. Dinámica en distintas escalas de tiempo (sistemas slow-fast); elementos de la teoría geométrica de perturbación singular.
5) Mecanismos de dispersión espacial: Convección, atracción y difusión. Ecuaciones de reacción-difusión. Ondas viajeras: pulsos viajeros, frentes de onda, ondas periódicas. Casos de estudio: Ecuación de Fisher-Kolgomorov, propagación espacial de epidemias. Ondas viajeras en ecuaciones de reacción-difusión generales.
6) Formación de patrones: Inestabilidad de Turing, bifurcación de Turing. Morfogénesis (creación de formas y patrones espaciales).
REPORTES DE INVESTIGACIÓN
1) Exposiciones del 17-18 abril 2024.
* Gonzalo Ayancán --- La paradoja del plancton.
* Bladimir Blanco --- Estudio de un modelo de orden fraccionario de dos especies en competencia
* Nicolás Boyardi --- Un sistema dinámico a tiempo discreto y un álgebra de evolución de la población de mosquitos.
* Laura Carrasco --- Dinámica y respuestas de un sistema depredador-presa con interferencia competitiva y retardo temporal.
* Cristian Marín --- Una aproximación a juegos evolutivos
* Claudio Peña --- Aplicación del modelo de Lotka-Volterra en economía: El enfoque de Goodwin
* Nolberto Rivera --- Dinámica de transiciones entre interacciones de poblaciones
* Ramón Vidal --- Dinámica de simbiosis: Protocooperación
2) Exposiciones del 2-3 mayo 2024.
* Gonzalo Ayancán --- Dinámica en el modelo SIR con respecto al número de camas y tasa de muerte inducida por la enfermedad.
* Bladimir Blanco --- Modelo SIR de VIH/SIDA en Khartoum
* Nicolás Boyardi --- Sistemas SIR heterogéneos para el análisis de persistencia de ciclos epidemiológicos
* Laura Carrasco --- Análisis de transmisión matemática del modelo de enfermedad de tuberculosis SEIR
* Cristian Marín --- Modelo SIS estocástico a tiempo discreto
* Claudio Peña --- Modelando la variación estacional en enfermedades infecciosas: Explorando el caso del H5N1
* Nolberto Rivera --- Análisis de un modelo de enfermedad infecciosa con 2 cepas y con amplificación
* Ramón Vidal --- Modelo compartimental de Covid-19
3) Exposiciones del 29-30 mayo 2024.
* Gonzalo Ayancán ---
* Bladimir Blanco --- Sincronización de neuronas en el modelo de Hindmarsh-Rose
* Nicolás Boyardi --- Criterio sobre ε anti-Canards a través de un análisis geométrico-diferencial
* Laura Carrasco --- Un modelo simple de ritmos circadianos basado en dimerización y proteólisis de PER y TIM
* Cristian Marín --- Modelo slow-fast para la viroterapia oncolítica
* Claudio Peña --- Oscilaciones de modo mixto y singularidades plegadas en modelos depredador-presa
* Nolberto Rivera --- Modelo slow-fast para un sistema de interacciones huésped-microbiota
* Ramón Vidal --- Un modelo de adicción con dinámica lento-rápida
4) Exposiciones del 3-4 julio 2024.
* Gonzalo Ayancán --- Formación de patrones en nubes a través de la inestabilidad de Turing
* Bladimir Blanco --- Patrones espaciales a través de la inestabilidad de Turing en un modelo depredador-presa de reacción-difusión
* Nicolás Boyardi --- Ecuaciones de reacción-difusión para modelar los patrones laberínticos de la corteza cerebral
* Laura Carrasco --- Control espacialmente explícito de especies invasoras mediante un modelo de reacción-difusión
* Claudio Peña --- Implicancias de la presataxis en un modelo depredador-presa con comportamiento de manada
* Nolberto Rivera --- Promoción por efecto Allee de la diversidad genética en ondas viajeras de colonización
* Ramón Vidal --- Sistemas reacción-difusión en el diseño de la geometría interna de implantes scaffolds para regeneración ósea
Bibliografía
Apuntes del curso
- P. Aguirre, Modelos Biomatemáticos Versión actualizada 27 junio 2024.
Textos recomendados en Biomatemática
- A. D. Bazykin, Nonlinear Dynamics of Interacting Populations, World Scientific, 1998.
- F. Brauer & C. Castillo-Chávez, Mathematical Models in Population Biology and Epidemiology, 2nd edition, Springer, 2012.
- N. F. Britton, Essential Mathematical Biology, 2nd edition, Springer, 2003.
- L. Edelstein-Keshet, Mathematical Models in Biology, SIAM, 2005.
- E. Izhikevich, Dynamical Systems in Neuroscience. The Geometry of Excitability and Bursting, MIT Press, 2007.
- J. D. Murray, Mathematical Biology, 3rd. edition, Springer-Verlag, 2002.
Disponible en formato digital aquí: Volumen I, Volumen II.
- R. Smith?, Modelling Disease Ecology with Mathematics, 2nd. edition, AIMS, 2017.
- A. T. Winfree, The Geometry of Biological Time, 2nd. edition, Springer-Verlag, 2001.
Otros textos complementarios en Matemática
- D. W. Jordan & P. Smith, Nonlinear Ordinary Differential Equations, 4th Edition, Oxford University Press, 2007.
- C. Kuehn, Multiple Time Scale Dynamics, Springer, 2015.
- C. Kuehn, PDE Dynamics, SIAM, 2019.
- J. D. Meiss, Differential Dynamical Systems, Revised Edition, SIAM, 2017.
- L. Perko, Differential Equations and Dynamical Systems, Springer, 2001.
- S. Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos, Westview Press, 2001.