Cátedras: Pablo Aguirre (pablo.aguirre [at] usm.cl)
Horarios de Clases: Martes, bloque 7-8, sala F-265.
Viernes, bloque 3-4, sala P322.
Notas finales aquí
Proyectos:
* O'Bryan Cárdenas, Modelando una epidemia zombie: 4 modelos basados en la cultura popular zombie.
* Fabián Ramírez, Reacción de Belousov-Zhabotinsky y su estabilidad.
* Edgardo Villar, Modelo depredador-presa con respuesta funcional razón-dependiente.
Contenidos:
1) Dinámica de poblaciones: Modelo malthusiano, crecimiento logístico, histéresis, efecto Allee. Sistemas depredador-presa, ecuaciones de Lotka-Volterra, respuestas funcionales, bifurcaciones y ciclos límite. Modelos bien planteados: soluciones no-negativas y acotadas, compactificación de Poincaré, dinámica en el infinito. Modelo logístico y dinámica caótica.
2) Enfermedades infecciosas: Modelos SIRS, número básico de reproducción.
3) Cinética de reacciones bioquímicas: Modelo de Michaelis-Menten, sistemas slow-fast y análisis de perturbación singular.
4) Oscilaciones biológicas: Osciladores acoplados y sincronización, reinicio de fase (phase resetting), enganche de fase (phase locking). Ondas viajeras en osciladores acoplados, generador de patrones centrales. Oscilaciones de relajación, propagación de impulsos nerviosos en neuronas, ecuaciones de Hodgkin-Huxley, modelo de Fitzhugh-Nagumo. Sistemas slow-fast y teoría geométrica de perturbación singular, variedad crítica, teorema de Fenichel, variedad lenta.
5) Mecanismos de dispersión espacial: Ecuación de conservación. Convección, atracción y difusión. Modelos de propagación espacial basados en ecuaciones de reacción-difusión. Transporte de sustancias biológicas en el axón de las neuronas. Movimiento aleatorio y quemostático de microorganismos, dispersión espacial en animales. Ondas viajeras en ecuaciones de reacción-difusión: pulsos viajeros, frentes de onda, ondas periódicas. Ecuación de Fisher-Kolgomorov. Estabilidad de ondas viajeras.
6) Formación de patrones: Inestabilidad de Turing, bifurcación de Turing. Sistemas activador-inhibidor, morfogénesis (creación de formas y patrones espaciales).
Bibliografía
Texto Guía
- J. D. Murray, Mathematical Biology, 3rd. edition, Springer-Verlag, 2002.
Textos Complementarios en Biomatemática
- A. D. Bazykin, Nonlinear Dynamics of Interacting Populations, World Scientific, 1998.
- F. Brauer & C. Castillo-Chávez, Mathematical Models in Population Biology and Epidemiology, 2nd edition, Springer, 2012.
- N. F. Britton, Essential Mathematical Biology, 2nd edition, Springer, 2003.
- L. Edelstein-Keshet, Mathematical Models in Biology, SIAM, 2005.
- E. Izhikevich, Dynamical Systems in Neuroscience. The Geometry of Excitability and Bursting, MIT Press, 2007.
Otros Textos Complementarios
- D. W. Jordan & P. Smith, Nonlinear Ordinary Differential Equations, 4th Edition, Oxford University Press, 2007.
- C. Kuehn, Multiple Time Scale Dynamics, Springer, 2015.
- J. D. Meiss, Differential Dynamical Systems, Revised Edition, SIAM, 2017.
- J. D. Murray, Asymptotic Analysis, Springer, 2nd Edition, 1984.
- L. Perko, Differential Equations and Dynamical Systems, Springer, 2001.
Evaluación
2 certámenes (C1, C2)
Mini-Proyecto (P): Información e indicaciones.
Promedio de certámenes:
PC = (C1+ C2)/2
Nota final:
NF = PC*0.7 + P*0.3