MAT-600 Seminario de Investigación: Teoría de Bifurcaciones
1º semestre 2017

Bifurcación y Caos son dos términos que han dominado la investigación en dinámica no-lineal en las últimas décadas. Su importancia ha traspasado las fronteras de la matemática al marcar presencia desde la física teórica hasta las neurociencias pasando por prácticamente todas las áreas de vanguardia de la ingeniería. La asociación entre bifurcaciones y la Teoría del Caos no es gratuita: Muchas veces la ocurrencia de ciertas bifurcaciones puede gatillar la aparición de caos en un sistema. Por lo tanto, el reconocer e identificar las bifurcaciones de un sistema puede ser crucial para entender los mecanismos matemáticos subyacentes que explican una transición entre una dinámica "simple" y un comportamiento caótico.

Este curso busca entregar las principales ideas y herramientas de la Teoría de Bifurcaciones. El curso tendrá una faceta teórica/expositiva complementada con sesiones computacionales con el software MATCONT en donde se implementarán numéricamente y aplicarán las técnicas desarrolladas. (Ver también: Instalación de MatCont.)
Se pondrá énfasis en entregar una sólida base en la teoría así como procedimientos explícitos para aplicar resultados matemáticos generales a problemas particulares.

Este curso está dirigido a estudiantes del programa de Doctorado en Matemática de Valparaíso y a estudiantes avanzados de pregrado. En general, este curso puede ser tomado por estudiantes matemáticos y no-matemáticos con una formación (al menos) introductoria en la teoría de sistemas dinámicos: Retratos de fase, equivalencias y conjugaciones, estabilidad local, aplicación de retorno de Poincaré, variedades invariantes, caos, nociones de dinámica simbólica, herraduras de Smale, etc.
Otros requisitos: Dominio de cálculo diferencial en varias variables, álgebra lineal, análisis. Deseable poseer nociones de topología y variedades diferenciables.


Cátedras: Pablo Aguirre (pablo.aguirre [at] usm.cl)
Horarios de Clases:
Lunes, bloque 11-12 (17.20-18.50), Auditorio F-265.
Miércoles, bloque 9-10 (15.40-17.10), Sala de Seminarios DMAT.
                                 
Horarios de Consulta: Lunes a Viernes, 2.00-3.30pm.

Evaluación

2 certámenes (C1, C2): Pruebas escritas individuales.
Tareas (T): Selección de problemas para resolver en casa.
Mini-proyecto (P):
Información e indicaciones. Temas sugeridosNuevo!
Examen: Oportunidad final para lograr aprobar la asignatura.

Promedio de certámenes:
PC = (C1+ C2)/2

Nota semestral:
NS = PC*0.6 + T*0.1 + P*0.3



Fechas importantes:

Certamen 1: Lunes 15 de Mayo.
Certamen 2: Lunes 12 de Junio.
Entrega de Mini-proyecto: Lunes 3 de Julio.
Exposiciones de Mini-proyecto: Miércoles 5 de Julio.
Examen: Lunes 10 de Julio.



Tarea 1        
Tarea 2        


Contenidos:

1) Preliminares: E
jemplos de bifurcaciones y diagramas de bifurcación. Codimensión de una bifurcación. Relación entre bifurcaciones y estabilidad estructural de sistemas dinámicos.

2) Formas normales: Formas normales para campos vectoriales, términos resonantes, teorema de la forma normal. Forma normal topológica de una bifurcación.
Deformación versal.

3)
Bifurcaciones locales de codimensión uno: Bifurcación fold (silla-nodo), bifurcación de Andronov-Hopf, bifurcación flip (duplicación de período), bifurcación Neimark-Sacker. Condiciones de genericidad y transversalidad.

4) Bifurcaciones de equilibrios y órbitas periódicas en sistemas dinámicos n-dimensionales: Variedad central, teorema de reducción, variedades centrales en sistemas que dependen de parámetros. Bifurcaciones de órbitas periódicas.

5) Bifurcaciones globales en campos vectoriales: Órbitas homoclínicas y heteroclínicas; Teorema de Andronov-Leontovich para órbitas homoclínicas planares; bifurcaciones homoclínicas en R^3, teoremas de Shilnikov, caos homoclínico de Shilnikov; bifurcaciones homoclínicas en sistemas n-dimensionales.

6) Otras bifurcaciones a un parámetro: Bifurcaciones de órbitas homoclínicas a ciclos, tangencias homoclínicas y enredos homoclínicos. Bifurcaciones en toros invariantes, número de rotación, lenguas de Arnold.

7) Bifurcaciones locales de codimensión dos: Bifurcación cúspide, bifurcación de Hopf generalizada (Bautin), bifurcación Bogdanov-Takens, bifurcación fold-Hopf, bifurcación flip generalizada, resonancias fuertes.



Bibliografía

Texto Guía
- Y. Kuznetsov, Elements of Applied Bifurcation Theory, 3ª edición, Springer, 2004.
   

Textos Complementarios
- V. I. Arnol'd, V. S. Afrajmovich, Yu. S. Il'yashenko & L. P. Shil'nikov, Dynamical Systems V: Bifurcation Theory and Catastrophe Theory, Encyclopaedia of Mathematical Sciences Vol. 5, Springer-Verlag, 1994.
- D. K. Arrowsmith & C. M. Place, An Introduction to Dynamical Systems, Cambridge University Press, 1990.

- J. Guckenheimer & P. Holmes, Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields, Springer, 1986.
- J. Hale & H. Kocak, Dynamics and Bifurcations, Springer, 1991.
- Yu. Ilyashenko & W. Li, Nonlocal Bifurcations, Mathematical Surveys and Monographs Vol. 66, American Mathematical Society, 1999.
- J. Palis & F. Takens, Hyperbolicity & Sensitive Chaotic Dynamics at Homoclinic Bifurcations, Cambridge University Press, 1995.
- L. P. Shilnikov, A. L. Shilnikov, D. V. Turaev & L. O. Chua, Methods of Qualitative Theory in Nonlinear Dynamics (Part II), World Scientific Series on Nonlinear Science Series A Vol. 5, World Scientific Publishing, 2001.





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Last updated 27 Abril 2017 .