Bifurcación y Caos son dos términos que han dominado la investigación en dinámica no-lineal en las últimas décadas. Su importancia ha traspasado las fronteras de la matemática al marcar presencia desde la física teórica hasta las neurociencias pasando por prácticamente todas las áreas de vanguardia de la ingeniería. La asociación entre bifurcaciones y la Teoría del Caos no es gratuita: Muchas veces la ocurrencia de ciertas bifurcaciones puede gatillar la aparición de caos en un sistema. Por lo tanto, el reconocer e identificar las bifurcaciones de un sistema puede ser crucial para entender los mecanismos matemáticos subyacentes que explican una transición entre una dinámica "simple" y un comportamiento caótico.
Este curso está dirigido a estudiantes de postgrado y a estudiantes avanzados de pregrado. En general, este curso puede ser tomado por estudiantes matemáticos y no-matemáticos con una formación (al menos) introductoria en la teoría de sistemas dinámicos: Retratos de fase, equivalencias y conjugaciones, estabilidad local, aplicación de retorno de Poincaré, variedades invariantes, caos, nociones de dinámica simbólica, herraduras de Smale, etc.
Otros requisitos: Dominio de cálculo diferencial en varias variables, álgebra lineal, análisis. Deseable poseer nociones de topología y variedades diferenciables.
Cátedras: Pablo Aguirre (pablo.aguirre [at] usm.cl)
Horarios de Clases: Martes, 14.30-15.40 hrs.
Modalidad: Tutoría.
Contenidos:
1) Preliminares: Ejemplos de bifurcaciones y diagramas de bifurcación. Deformaciones versales. Codimensión de una bifurcación. Relación entre bifurcaciones y estabilidad estructural de sistemas dinámicos.
2) Formas normales: Formas normales para campos vectoriales, términos resonantes, teorema de la forma normal. Formas normales de campos vectoriales que dependen de un parámetro.
3) Bifurcaciones locales de codimensión uno: Formas normales topológicas de bifurcaciones; condiciones de genericidad y transversalidad. Bifurcación fold (silla-nodo), bifurcación de Andronov-Hopf, bifurcación flip (duplicación de período), bifurcación Neimark-Sacker.
4) Bifurcaciones en sistemas dinámicos n-dimensionales: Teoremas sobre variedades centrales; variedades centrales en sistemas que dependen de parámetros. Bifurcaciones de órbitas periódicas.
5) Bifurcaciones globales en campos vectoriales: Órbitas homoclínicas y heteroclínicas; Teorema de Andronov-Leontovich para órbitas homoclínicas planares; bifurcaciones homoclínicas en R^3, teoremas de Shilnikov, caos homoclínico de Shilnikov; bifurcaciones homoclínicas en sistemas n-dimensionales.
6) Bifurcaciones locales de codimensión dos: Bifurcación cúspide, bifurcación de Hopf generalizada (Bautin), bifurcación Bogdanov-Takens, bifurcación fold-Hopf, bifurcación flip generalizada, resonancias fuertes.
Bibliografía
Texto Guía
- Y. Kuznetsov, Elements of Applied Bifurcation Theory, 3ª edición, Springer, 2004.
Textos Complementarios
- V. I. Arnol'd, V. S. Afrajmovich, Yu. S. Il'yashenko & L. P. Shil'nikov, Dynamical Systems V: Bifurcation Theory and Catastrophe Theory, Encyclopaedia of Mathematical Sciences Vol. 5, Springer-Verlag, 1994.
- D. K. Arrowsmith & C. M. Place, An Introduction to Dynamical Systems, Cambridge University Press, 1990.
- J. Guckenheimer & P. Holmes, Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields, Springer, 1986.
- J. Hale & H. Kocak, Dynamics and Bifurcations, Springer, 1991.
- Yu. Ilyashenko & W. Li, Nonlocal Bifurcations, Mathematical Surveys and Monographs Vol. 66, American Mathematical Society, 1999.
- J. Palis & F. Takens, Hyperbolicity & Sensitive Chaotic Dynamics at Homoclinic Bifurcations, Cambridge University Press, 1995.
- L. P. Shilnikov, A. L. Shilnikov, D. V. Turaev & L. O. Chua, Methods of Qualitative Theory in Nonlinear Dynamics (Part II), World Scientific Series on Nonlinear Science Series A Vol. 5, World Scientific Publishing, 2001.
Last updated 25 Agosto 2022.