Cátedras: Pablo Aguirre (pablo.aguirre [at] usm.cl)
Horarios de Clases: Lunes & Miércoles, bloques 5-6, Sala de Seminarios DMAT.
1ra sesión práctica: Lunes 25 Agosto.
2da sesión práctica: Miércoles 3 Septiembre.
3ra sesión práctica: Lunes 22 Septiembre.
4ta sesión práctica: Lunes 6 Octubre.
5ta sesión práctica: Lunes 13 Octubre.
6ta sesión práctica: Lunes 20 Octubre.
7ta sesión práctica: Lunes 10 Noviembre.
8va sesión práctica: Lunes 17 Noviembre.
9va sesión práctica: Miércoles 26 Noviembre.
Certamen 1: 10 Octubre.
Certamen 2: 28 Noviembre.
El curso tendrá dos facetas: una teórica/expositiva y una práctica/computacional/hands-on
que se irán complementando e intercalando sucesivamente. La meta al final del curso es ser capaces de
tomar un sistema dinámico específico -por ejemplo, en la forma de un sistema de EDOs no-lineales que
en general, podría ser muy complicado de estudiar analíticamente-, y obtener, interpretar y presentar la mayor
cantidad de información de este sistema en base a los métodos y herramientas que veamos.
Contenidos
-Métodos básicos para resolver sistemas de ecuaciones no-lineales.
-Métodos de continuación para calcular curvas definidas implícitamente en un espacio n-dimensional.
-Técnicas para continuar equilibrios, puntos fijos y órbitas periódicas en un parámetro y detectar sus bifurcaciones de codimensión uno.
-Variedades centrales dependiendo de parámetros.
-Bifurcaciones de codimensión dos.
-Métodos para detectar y continuar en dos parámetros todas las bifurcaciones locales genéricas de equilibrios y puntos fijos.
-Métodos para detectar y continuar en dos parámetros todas las bifurcaciones de ciclos en ecuaciones diferenciales ordinarias.
-Bifurcaciones homoclínicas.
-Métodos de continuación para órbitas homoclínicas: Condiciones de frontera de proyección, método de homotopía.
Bibliografía
- Y. Kuznetsov, Elements of Applied Bifurcation Theory, Springer, 2004.
- B. Krauskopf, H. Osinga & J. Galán-Vioque, Numerical Continuation Methods for Dynamical Systems, Springer, 2007.
- W. Govaerts, Numerical Methods for Bifurcations of Dynamical Equilibria, SIAM, 2000.
- E. Allgower & K. Georg, Introduction to Numerical Continuation Methods, SIAM, 2003.
- W.-J. Beyn, A. Champneys, E. Doedel, W. Govaerts, Yu. A. Kuznetsov & B. Sandstede,
Numerical Continuation and Computation of Normal Forms.
In: B. Fiedler (ed.) "Handbook of Dynamical Systems", vol. 2, Elsevier Science, North-Holland, 2002, pp. 149-219.
El curso incluye ejercicios y tareas con avanzadas herramientas computacionales (el "estado-del-arte" en análisis numérico de bifurcaciones), en particular usando el software MATCONT en ambiente MATLAB:
MATCONT: Matlab package for the interactive numerical study of dynamical systems
Instalación de MatCont
Pre-requisitos
Conocimientos sólidos de la teoría de sistemas dinámicos y bifurcaciones.
Evaluación
2 certámenes & (varias) tareas.
NF = 60% Certámenes + 40% Tareas.