Cátedras: Pablo Aguirre (pablo.aguirre [at] usm.cl)
Horarios de Clases:
MIÉRCOLES 14.30-15.40hrs - Sala de Seminarios del DMAT.
JUEVES 9.35-10.45hrs - Sala C206.
Horarios de Consulta: Jueves 14-16hrs.
Monitora de Apoyo Académico: Nathaly Corrales
Ayudante: Adrián López, Miércoles 15.50-17.00hrs, Sala de Seminarios del DMAT.
Evaluación de la asignatura
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Cronograma de la asignatura
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Slides de clases disponibles en AULA
Certamen 2
3 diciembre
9am
Sala C-236
Certamen
Global
14 diciembre
14.30hrs
Sala de Seminarios DMAT
OBJETIVOS:
• Comprender los fundamentos de la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias.
• Desarrollar habilidades de análisis cuantitativo y cualitativo de soluciones.
• Determinar el comportamiento local, global y asintótico de sistemas modelados por ecuaciones diferenciales ordinarias.
Requisitos: Este curso puede ser tomado por estudiantes con conocimientos sólidos de análisis real, álgebra lineal, y cálculo diferencial e integral. Concretamente, se recomienda dominio de los siguientes tópicos (entre otros): distancias y normas, topología en R^n, convergencia de sucesiones en R, convergencia uniforme de funciones, valores y vectores propios de matrices, forma canónica de Jordan de una matriz.
También son necesarios conocimientos de ecuaciones diferenciales ordinarias elementales y sus soluciones, a nivel de un primer curso básico (como MAT-023).
Contenidos:
1) Teoremas Fundamentales: El problema de Cauchy, teoremas de existencia y unicidad de soluciones, soluciones máximas. Dependencia de las soluciones con respecto a las condiciones iniciales y a los parámetros. Sistemas de ecuaciones y ecuaciones de orden superior.
2) Ecuaciones Diferenciales Lineales: Espacio vectorial de soluciones, soluciones fundamentales, ecuaciones con coeficientes constantes, sistemas bidimensionales, conjugación de sistemas lineales, clasificación topológica de sistemas lineales hiperbólicos.
3) Teoría Cualitativa I: Introducción y teoría local. Campos vectoriales y flujos, retrato de fase, equivalencia y conjugación de campos vectoriales. Teorema de Hartman-Grobman, estabilidad local de puntos de equilibrio hiperbólicos. Estabilidad local de soluciones periódicas, aplicación de retorno de Poincaré, ciclos límite en el plano.
4) Teoría Cualitativa II: Propiedades globales. Conjuntos α-límite y ω-límite de órbitas. Teorema de Poincaré-Bendixson. Criterios para existencia de órbitas períodicas. Sistemas conservativos.
5) Estabilidad en Sentido Lyapunov: Estabilidad de Lyapunov, funciones de Lyapunov, criterio de Lyapunov.
6) Bifurcaciones: Puntos de bifurcación, diagramas de bifurcación. Bifurcación silla-nodo, transcrítica, pitchfork y Hopf.
7) Caos (Bonus!): Las ecuaciones de Lorenz, el "efecto mariposa" y el atractor caótico.
Bibliografía
Apuntes del curso
- P. Aguirre, Teoría Cualitativa de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, 2022 --- Actualizado el 14 noviembre
Textos de estudio recomendados sobre EDOs
- V. I. Arnol'd, Ordinary Differential Equations, Springer-Verlag, 1992.
- L. Barreira & C. Valls, Ordinary Differential Equations: Qualitative Theory, AMS, 2012.
- F. Brauer & J. A. Nohel, The Qualitative Theory of Ordinary Differential Equations, Dover, 1989.
- M. W. Hirsch, S. Smale & R. L. Devaney, Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos, 3rd edition, Academic Press, 2013.
- J. D. Meiss, Differential Dynamical Systems, Revised Edition, SIAM, 2017.
- L. Perko, Differential Equations and Dynamical Systems, Springer, 2001.
Disponible en formato digital aquí.
- J. Sotomayor, Equações Diferenciais Ordinárias, Livraria da Física Editora, 2011.
- F. Verhulst, Nonlinear Differential Equations and Dynamical Systems, Springer-Verlag, 1990.
Otros textos complementarios para los pre-requisitos del curso
- N. L. Carothers, Real Analysis, Cambridge University Press, 2000.
- K. Hoffman & R. Kunze, Linear Algebra, 2nd Edition, Pearson, 1971.
- A. N. Kolmogorov & S. V. Fomin, Introductory Real Analysis, Dover, 1975.
- S. Lang, Linear Algebra, 3rd Edition, Springer, 1987.
- W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd Edition, McGraw-Hill, 1976.
Last updated 25 Noviembre 2022.