Cátedras: Pablo Aguirre (pablo.aguirre [at] usm.cl)
Isabel Flores (isabel.flores [at] usm.cl)
Horarios de Clases: Martes & Viernes 14.30-15.40hrs.
Horarios de Consulta: Simplemente envíenme un email para coordinar una reunión.
ID de reunión zoom: 839 3816 5330
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Ayudantía Campus San Joaquín: Nathaly Corrales
Horario: Jueves, bloque 11-12.
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Ayudantía Casa Central: Nicolás González
Horario: Lunes, bloque 13-14.
Coordenadas zoom y material: disponible en AULA.
Evaluación de la asignatura
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OBJETIVOS:
• Comprender los fundamentos de la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias.
• Desarrollar habilidades de análisis cuantitativo y cualitativo de soluciones.
• Determinar el comportamiento local, global y asintótico de sistemas modelados por ecuaciones diferenciales ordinarias.
Requisitos: Este curso puede ser tomado por estudiantes con conocimientos sólidos de análisis real, álgebra lineal, y cálculo diferencial e integral. Concretamente, se recomienda dominio de los siguentes tópicos (entre otros): distancias y normas, topología en R^n, convergencia de sucesiones en R, convergencia uniforme de funciones, valores y vectores propios de matrices, forma canónica de Jordan de una matriz.
También son necesarios conocimientos de ecuaciones diferenciales ordinarias elementales y sus soluciones, a nivel de un primer curso básico (como MAT-023).
Contenidos:
1) Teoremas Fundamentales: El problema de Cauchy, teoremas de existencia y unicidad de soluciones, soluciones máximas. Dependencia de las soluciones con respecto a las condiciones iniciales y a los parámetros. Sistemas de ecuaciones y ecuaciones de orden superior.
2) Ecuaciones Diferenciales Lineales: Espacio vectorial de soluciones, soluciones fundamentales, ecuaciones con coeficientes constantes, sistemas bidimensionales, conjugación de sistemas lineales, clasificación topológica de sistemas lineales hiperbólicos.
3) Teoría Cualitativa I: Introducción y teoría local. Campos vectoriales y flujos, retrato de fase, equivalencia y conjugación de campos vectoriales. Teorema de Hartman-Grobman, estabilidad local de puntos de equilibrio hiperbólicos. Estabilidad local de soluciones periódicas, aplicación de retorno de Poincaré, ciclos límite en el plano.
4) Teoría Cualitativa II: Propiedades globales. Conjuntos α-límite y ω-límite de órbitas. Teorema de Poincaré-Bendixson.
5) Estabilidad en Sentido Lyapunov: Estabilidad de Lyapunov, funciones de Lyapunov, criterio de Lyapunov.
Bibliografía
Apuntes del curso
- P. Aguirre, Teoría Cualitativa de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, 2021.
Textos de estudio recomendados
- V. I. Arnol'd, Ordinary Differential Equations, Springer-Verlag, 1992.
- L. Barreira & C. Valls, Ordinary Differential Equations: Qualitative Theory, AMS, 2012.
- F. Brauer & J. A. Nohel, The Qualitative Theory of Ordinary Differential Equations, Dover, 1989.
- M. W. Hirsch, S. Smale & R. L. Devaney, Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos, 3rd edition, Academic Press, 2013.
- J. D. Meiss, Differential Dynamical Systems, Revised Edition, SIAM, 2017.
- L. Perko, Differential Equations and Dynamical Systems, Springer, 2001.
Disponible en formato digital aquí.
- J. Sotomayor, Equações Diferenciais Ordinárias, Livraria da Física Editora, 2011.
- F. Verhulst, Nonlinear Differential Equations and Dynamical Systems, Springer-Verlag, 1990.