Cátedras: Pablo Aguirre (pablo.aguirre [at] usm.cl)
Horarios de Clases: Lunes bloque 3-4, sala C-206
Miércoles bloque 3-4, sala P-105.
Horarios de Consulta: Martes, 11.30-12.30hrs.
Miércoles, 14.00-15.30hrs.
En ambos horarios se ruega confirmar disponibilidad previamente via email.
Ayudante: Fabián Ramírez.
Fechas importantes:
Certamen 1: Sábado 27 de Octubre, 8.00-11.00 hrs.
Tópicos: Teoremas fundamentales (completo), Ecuaciones diferenciales lineales (hasta sistemas bidimensionales inclusive).
Certamen 2: Miércoles 19 de Diciembre, 14.00-17.00hrs.
Tópicos: Desde conjugación de sistemas lineales hasta método del blow-up.
Certamen Global: Jueves 27 Diciembre, 9.45-12.00hrs.
Notas Tareas
Notas Finales
Contenidos:
1) Teoremas Fundamentales: El problema de Cauchy, teoremas de existencia y unicidad de soluciones, soluciones máximas, sistemas de ecuaciones y ecuaciones de orden superior. Dependencia de las soluciones con respecto a las condiciones iniciales y a los parámetros.
2) Ecuaciones Diferenciales Lineales: Espacio vectorial de soluciones, matriz fundamental, flujos lineales, ecuaciones con coeficientes constantes, sistemas bidimensionales, conjugación de sistemas lineales, clasificación topológica de sistemas lineales hiperbólicos.
3) Ecuaciones Diferenciales No-Lineales (Teoría Cualitativa): Campos vectoriales y flujos, sistemas dinámicos, retrato de fase de un campo vectorial, equivalencia y conjugación de campos vectoriales, teorema del flujo tubular, teorema de Hartman-Grobman, variedades estable e inestable.
4) Soluciones periódicas: Estabilidad local de soluciones periódicas, aplicación de retorno de Poincaré. Conjuntos α-límite y ω-límite de órbitas. Teorema de Poincaré-Bendixson. Sistemas conservativos.
5) Estabilidad en Sentido Lyapunov: Estabilidad de Lyapunov, funciones de Lyapunov, criterio de Lyapunov.
6) Puntos de Equilibrio no-hiperbólicos: Puntos de equilibrio semi-hiperbólicos, teorema de la variedad central, propiedades de las variedades centrales. Método del blow-up, blow-up polar, blow-up direccional.
7) Las ecuaciones de Lorenz: Bifurcaciones y ruta al caos. El atractor caótico de Lorenz.
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Bibliografía
Texto Guía
- J. Sotomayor, Equações Diferenciais Ordinárias, Livraria da Física Editora, 2011.
Textos Complementarios
- V. I. Arnol'd, Ordinary Differential Equations, Springer-Verlag, 1992.
- L. Barreira & C. Valls, Ordinary Differential Equations: Qualitative Theory, AMS, 2012.
- F. Brauer & J. A. Nohel, The Qualitative Theory of Ordinary Differential Equations, Dover, 1989.
- M. W. Hirsch, S. Smale & R. L. Devaney, Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos, 3rd edition, Academic Press, 2013.
- J. D. Meiss, Differential Dynamical Systems, Revised Edition, SIAM, 2017.
- L. Perko, Differential Equations and Dynamical Systems, Springer, 2001.
- F. Verhulst, Nonlinear Differential Equations and Dynamical Systems, Springer-Verlag, 1990.
Evaluación
2 certámenes (C1, C2)
Tareas (T)
Certamen Global (G)
Promedio de certámenes:
PC = (C1+ C2)/2
Nota semestral:
NS = PC*0.8 + T*0.2
Requisitos de aprobación:
Si NS >= 55, APROBADO
Nota final = NS
Si 40<=NS<55, se puede rendir Certamen Global
Nota del Global reemplaza nota más baja de los certámenes y se calcula NG: Nota semestral con Global
NG = 0.8*(G + max{C1,C2})/2 + T*0.2
Si NG>=55, Nota final = 55.
Si NG<55, Nota final = NG.
Si NS<40, REPROBADO
Nota final = NS