Cátedras: Pablo Aguirre (pablo.aguirre [at] usm.cl)
Horarios de Clases: Lunes 5-6, P111; Miércoles 5-6, C234.
Horarios de Consulta: Miércoles 9-10, Jueves 7-8.
Ayudantes: Viviana Rivera
Fechas importantes:
Certamen 1: Jueves 10 Diciembre 2015, sala C233, bloques 5-6-7-8.
Certamen 2: Lunes 18 Enero 2016, sala C233, bloques 7-8-9-10.
Contenidos:
1) Existencia y Unicidad de Soluciones: El problema de Cauchy, teoremas de Picard y Peano, soluciones máximas, sistemas de ecuaciones y ecuaciones de orden superior. Dependencia de las soluciones con respecto a las condiciones iniciales y a los parámetros.
2) Ecuaciones Diferenciales Lineales: Espacio vectorial de soluciones, matriz fundamental, flujos lineales, ecuaciones con coeficientes constantes, sistemas bidimensionales, conjugación de sistemas lineales, clasificación topológica de sistemas lineales hiperbólicos.
3) Aspectos Preliminares de la Teoría Cualitativa de Ecuaciones Diferenciales No-Lineales: Campos vectoriales y flujos, sistemas dinámicos, retrato de fase de un campo vectorial, equivalencia y conjugación de campos vectoriales, teorema del flujo tubular, teorema de Hartman-Grobman, variedades estable e inestable, estabilidad local de órbitas periódicas, aplicación de retorno de Poincaré.
4) El Teorema de Poincaré-Bendixson: Conjuntos α-límite y ω-límite de órbitas. Teorema de Poincaré-Bendixson. Oscilaciones no-lineales. Ecuación de Lienard y ecuación de Van der Pol.
5) Estabilidad en Sentido Lyapunov: Estabilidad de Lyapunov, criterio de Lyapunov.
6) Puntos de Equilibrio no-hiperbólicos: Puntos de equilibrio semi-hiperbólicos, teorema de la variedad central, propiedades de las variedades centrales. Método del blow-up, blow-up polar, blow-up direccional.
7) Dependencia de las Soluciones con Respecto a las Condiciones Iniciales y a los Parámetros (Revisitada): Variedad central dependiendo de parámetros, bifurcaciones, caos.
Bibliografía
Texto Guía
- J. Sotomayor, Lições de Equações Diferenciais Ordinárias, Projeto Euclides, IMPA, Rio de Janeiro, 1979.
Textos Complementarios
- V. I. Arnol'd, Ordinary Differential Equations, Springer-Verlag, 1992.
- L. Barreira & C. Valls, Ordinary Differential Equations: Qualitative Theory, AMS, 2012.
- F. Brauer & J. A. Nohel, The Qualitative Theory of Ordinary Differential Equations, Dover, 1989.
- M. W. Hirsch, S. Smale & R. L. Devaney, Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos, 3rd edition, Academic Press, 2013.
- J. D. Meiss, Differential Dynamical Systems, SIAM, 2007.
- L. Perko, Differential Equations and Dynamical Systems, Springer, 2001.
- F. Verhulst, Nonlinear Differential Equations and Dynamical Systems, Springer-Verlag, 1990.
Evaluación
2 certámenes (C1, C2)
Tareas (T)
Examen (E)
Promedio de certámenes:
PC = (C1+ C2)/2
Nota semestral:
NS = PC*0.8 + T*0.2
Requisitos de aprobación:
Si NS >= 55, APROBADO
Nota final = NS
Si 40<=NS<55 y teniendo al menos una nota de certámenes >= 55, se puede rendir EXAMEN
NE = NS*0.7 + E*0.3
Si NE>=55, Nota final = 55.
Si NE<55, Nota final = NE.
Si NS<40, REPROBADO
Nota final = NS