Tópicos de investigación
Los sistemas dinámicos
son sistemas que evolucionan con el tiempo, y se encuentran por todas
partes: desde el sistema solar, el clima y los ecosistemas, hasta en
las máquinas creadas por el hombre y en la bioquímica de nuestros
propios cuerpos. Dependiendo de las circunstancias, el comportamiento
de un sistema puede ser bastante simple o más bien complicado. El
modelo de Lorenz ---con su icónico atractor caótico con forma de alas
de mariposa--- es un ejemplo paradigmático de un sistema dinámico con
comportamiento complicado. Su aparicion hace más de 50 años fue una de
las piedras angulares para el desarrollo de la teoría moderna de
sistemas dinámicos y dio pie al surgimiento de lo que hoy se entiende
por Teoría del Caos.
Mi investigación se focaliza en entender el rol de ciertos objetos especiales en un sistema dinámico, llamados variedades invariantes.
Nos enfocamos en el rol de estas variedades como organizadores de los
distintos comportamientos cualitativos en un sistema dinámico. Estas
variedades son superficies (o hipersuperficies) que actúan como
fronteras que separan diferentes regiones en el espacio de estados de
un sistema. Por ejemplo, trayectorias a un lado
de una variedad invariante pueden evolucionar en el tiempo hacia un
comportamiento periódico o cíclico, mientras que trayectorias al otro lado podrían converger hacia un estado de reposo. Más aún, en el proceso de separar distintas regiones del espacio de estados, estas superficies pueden llegar a producir impresionantes formas geométricas, lo cual hace aún más intrigante su estudio. Por ejemplo:
Variedades invariantes cerca de una bifurcación silla-nodo homoclínica de codimensión 2.
Variedades invariantes en el modelo de Swift-Hohenberg, definido por un campo de vectores en 4D.
Puedes ver también algunos ejemplos en la Galería Multimedia del portal DSWeb (https://dsweb.siam.org/Media-Gallery/orientable-and-non-orientable-invariant-manifolds), manejado por el SIAM Activity Group on Dynamical Systems.
Típicamente, estas superficies pasan por cambios cuando el sistema sufre perturbaciones. Estos cambios se llaman bifurcaciones.
Estas bifurcaciones pueden tener un efecto dramático en la
configuración de las variedades invariantes y, por lo tanto, en la
organización general del espacio de estados, creando (o destruyendo)
cuencas de atracción y dando origen a comportamientos complejos
incluyendo caos. Esto es de
especial interés para entender la naturaleza de sistemas que sufren
bifurcaciones globales como en dinámica de lásers, impulsos nerviosos
en las neuronas, reacciones electroquímicas, sistemas de comunicación
basados en caos, cadenas alimenticias en modelos de poblaciones, etc.
De
esta manera, buscamos responder las siguientes preguntas: ¿Cómo cambian
las variedades invariantes topológica y geométricamente durante una
bifurcación dada? ¿Cuáles son los mecanismos de bifurcación que
producen dinámica caótica en un modelo dado? ¿Y cómo esto afecta la
organización de un sistema dinámico? En particular, ¿Cuáles son las
posibles interpretaciones de estas rutas al caos en el contexto de un
modelo aplicado concreto? Para responder estas preguntas, utilizamos
herramientas analíticas de la teoría de sistemas dinámicos en
combinación con avanzados métodos numéricos para el cálculo preciso de
variedades invariantes. De esta forma, somos capaces de explicar cómo
ciertas bifurcaciones globales de interés pueden provocar cambios
dramáticos en la dinámica.
Algunos temas específicos de interés son:
- Bifurcaciones de variedades invariantes globales y métodos computacionales asociados
- Modelos matemáticos para explicar el "estallido social" y sus consecuencias.
- La dinámica y propagación de enfermedades infecciosas
- Cuencas de atracción y dinámica global en modelos poblacionales
- Modelación y estudio de la organización de bacterias mediante señales moeaculares o quemotaxis
- Mecanismos matemáticos de excitabilidad y caos en modelos neuronales
- Propiedades fractales de variedades invariantes de conjuntos caóticos en bifurcaciones homoclínicas
Research Grants and Projects
Ongoing Projects
- Proyecto Interno UTFSM PI_LI_19_06 (Investigador Principal), 2019-2021. Bifurcaciones de variedades invariantes: Teoría y aplicaciones.
Finished Projects
- Concurso Subvención a la Instalación en la Academia PAI77180076 (Investigador Patrocinante), 2019-2021. Programa de Atracción e Inserción de Capital Humano Avanzado PAI-CONICYT. Proyecto de investigación Del orden al caos: Descifrando sistemas dinámicos y sus aplicaciones en múltiples escalas de tiempo. Investigador Principal: José Pablo Mujica.
- CONICYT Redes 17009 (Investigador Asociado), 2018-2019. Proyecto de investigación y colaboración internacional AM2V-MobiMat network on modeling and control of communicable and infectious diseases.
- MATH-AmSud-Conicyt 18MATH-05 (Investigador Asociado), 2018-2019. Proyecto de investigación y colaboración internacional Modeling, Optimization and Viability for Epidemics Control (MOVECO).
- Fondecyt Iniciación 11150306
(Investigador Principal),
Fondecyt-Conicyt, 2015-2018. Proyecto de investigación Global bifurcations and invariant
manifolds: From simple to chaotic dynamics.
- STIC-AmSud-Conicyt 16STIC-02
(Investigador Responsable Nacional),
2016-2018. Proyecto de investigación y colaboración internacional MOSTICAW-Modeling the Spread and (opTImal)
Control of Arviroses by Wolbachia.
- Proyecto Interno
Multidisciplinario DGIP-USM 216.22.2 (Co-investigador),
2016-2018, UTFSM. Estudio
de las propiedades fractales de árboles eléctricos y de la dinámica de
las descargas parciales involucradas en la degradación de aislamientos
eléctricos.
- FONIS SA15|20311
(Co-investigador),
Diciembre 2015-Diciembre 2017, Universidad del Desarrollo. Fondo
Nacional de Investigación y Desarrollo en Salud, Conicyt. Proyecto de
investigación Costo efectividad del
test rápido para la detección de enfermedades infecciosas en población
privada de libertad: Sífilis.
- Fondecyt Regular 1151441
(Co-investigador), Programa Fondecyt-Conicyt, 2015-2018.
Proyecto de investigación Statistical
and mathematical modelling as a knowledge bridge between Society and
Ecological sustainability.
- Fondecyt Postdoctorado 3130497
(Investigador Principal), Fondecyt-Conicyt, 2012- 2015.
Proyecto de investigación Global
dynamics and bifurcations: Insight into theory and applications.
- Anillo ACT 1103 Center of
Dynamical Systems and Related Fields (Inv. Asociado), Conicyt,
2012-2015.
- Proyecto Interno
DGIP-USM 12.13.10 (Investigador Asociado),
2013-2014, UTFSM. Asymptotic analysis of perturbed dynamical systems and applications.


See also: Publications.
Universidad
Técnica Federico Santa María
/ Departamento
de Matemática
/ P Aguirre