Tópicos de investigación

Los sistemas dinámicos son sistemas que evolucionan con el tiempo, y se encuentran por todas partes: desde el sistema solar, el clima y los ecosistemas, hasta en las máquinas creadas por el hombre y en la bioquímica de nuestros propios cuerpos. Dependiendo de las circunstancias, el comportamiento de un sistema puede ser bastante simple o más bien complicado. El modelo de Lorenz ---con su icónico atractor caótico con forma de alas de mariposa--- es un ejemplo paradigmático de un sistema dinámico con comportamiento complicado. Su aparicion hace más de 50 años fue una de las piedras angulares para el desarrollo de la teoría moderna de sistemas dinámicos y dio pie al surgimiento de lo que hoy se entiende por Teoría del Caos.

Mi investigación se focaliza en entender el rol de ciertos objetos especiales en un sistema dinámico, llamados variedades invariantes. Nos enfocamos en el rol de estas variedades como organizadores de los distintos comportamientos cualitativos en un sistema dinámico. Estas variedades son superficies (o hipersuperficies) que actúan como fronteras que separan diferentes regiones en el espacio de estados de un sistema. Por ejemplo, trayectorias a un lado de una variedad invariante pueden evolucionar en el tiempo hacia un comportamiento periódico o cíclico, mientras que trayectorias al otro lado podrían converger hacia un estado de reposo. Más aún, en el proceso de separar distintas regiones del espacio de estados, estas superficies pueden llegar a producir impresionantes formas geométricas, lo cual hace aún más intrigante su estudio. Por ejemplo:

Variedades invariantes cerca de una bifurcación silla-nodo homoclínica de codimensión 2.

Variedades invariantes en el modelo de Swift-Hohenberg, definido por un campo de vectores en 4D.

Puedes ver también algunos ejemplos en la Galería Multimedia del portal DSWeb (https://dsweb.siam.org/Media-Gallery/orientable-and-non-orientable-invariant-manifolds), manejado por el SIAM Activity Group on Dynamical Systems.

Típicamente, estas superficies pasan por cambios cuando el sistema sufre perturbaciones. Estos cambios se llaman bifurcaciones. Estas bifurcaciones pueden tener un efecto dramático en la confiŽguración de las variedades invariantes y, por lo tanto, en la organización general del espacio de estados, creando (o destruyendo) cuencas de atracción y dando origen a comportamientos complejos incluyendo caos. Esto es de especial interés para entender la naturaleza de sistemas que sufren bifurcaciones globales como en dinámica de lásers, impulsos nerviosos en las neuronas, reacciones electroquímicas, sistemas de comunicación basados en caos, cadenas alimenticias en modelos de poblaciones, etc.

De esta manera, buscamos responder las siguientes preguntas: ¿Cómo cambian las variedades invariantes topológica y geométricamente durante una bifurcación dada? ¿Cuáles son los mecanismos de bifurcación que producen dinámica caótica en un modelo dado? ¿Y cómo esto afecta la organización de un sistema dinámico? En particular, ¿Cuáles son las posibles interpretaciones de estas rutas al caos en el contexto de un modelo aplicado concreto? Para responder estas preguntas, utilizamos herramientas analíticas de la teoría de sistemas dinámicos en combinación con avanzados métodos numéricos para el cálculo preciso de variedades invariantes. De esta forma, somos capaces de explicar cómo ciertas bifurcaciones globales de interés pueden provocar cambios dramáticos en la dinámica.

Algunos temas específicos de interés son:

1. Bifurcaciones de variedades invariantes globales y métodos computacionales asociados
2. Modelos matemáticos para explicar el "estallido social" y sus consecuencias.
   
3. La dinámica y propagación de enfermedades infecciosas
4. Cuencas de atracción y dinámica global en modelos poblacionales
   
5. Modelación y estudio de la organización de bacterias mediante señales moeaculares o quemotaxis
6. Mecanismos matemáticos de excitabilidad y caos en modelos neuronales
   
7. Propiedades fractales de variedades invariantes de conjuntos caóticos en bifurcaciones homoclínicas
   

Research Grants and Projects

1. Proyecto Interno UTFSM PI_LI_19_06 (Investigador Principal), 2019-2021. Bifurcaciones de variedades invariantes: Teoría y aplicaciones.
   

1. Concurso Subvención a la Instalación en la Academia PAI77180076 (Investigador Patrocinante), 2019-2021. Programa de Atracción e Inserción de Capital Humano Avanzado PAI-CONICYT. Proyecto de investigación Del orden al caos: Descifrando sistemas dinámicos y sus aplicaciones en múltiples escalas de tiempo. Investigador Principal: José Pablo Mujica.
   
2. CONICYT Redes 17009 (Investigador Asociado), 2018-2019. Proyecto de investigación y colaboración internacional AM2V-MobiMat network on modeling and control of communicable and infectious diseases.
3. MATH-AmSud-Conicyt 18MATH-05 (Investigador Asociado), 2018-2019. Proyecto de investigación y colaboración internacional Modeling, Optimization and Viability for Epidemics Control (MOVECO).
4. Fondecyt Iniciación 11150306 (Investigador Principal), Fondecyt-Conicyt, 2015-2018. Proyecto de investigación Global bifurcations and invariant manifolds: From simple to chaotic dynamics.
   
5. STIC-AmSud-Conicyt 16STIC-02 (Investigador Responsable Nacional), 2016-2018. Proyecto de investigación y colaboración internacional MOSTICAW-Modeling the Spread and (opTImal) Control of Arviroses by Wolbachia.
6. Proyecto Interno Multidisciplinario DGIP-USM 216.22.2 (Co-investigador), 2016-2018, UTFSM. Estudio de las propiedades fractales de árboles eléctricos y de la dinámica de las descargas parciales involucradas en la degradación de aislamientos eléctricos.
7. FONIS SA15|20311 (Co-investigador), Diciembre 2015-Diciembre 2017, Universidad del Desarrollo. Fondo Nacional de Investigación y Desarrollo en Salud, Conicyt. Proyecto de investigación Costo efectividad del test rápido para la detección de enfermedades infecciosas en población privada de libertad: Sífilis.
8. Fondecyt Regular 1151441 (Co-investigador), Programa Fondecyt-Conicyt, 2015-2018. Proyecto de investigación Statistical and mathematical modelling as a knowledge bridge between Society and Ecological sustainability.
   
9. Fondecyt Postdoctorado 3130497 (Investigador Principal), Fondecyt-Conicyt, 2012- 2015. Proyecto de investigación Global dynamics and bifurcations: Insight into theory and applications.
10.  Anillo ACT 1103 Center of Dynamical Systems and Related Fields (Inv. Asociado), Conicyt, 2012-2015.
11. Proyecto Interno DGIP-USM 12.13.10 (Investigador Asociado), 2013-2014, UTFSM. Asymptotic analysis of perturbed dynamical systems and applications.